1. Кривые Евклидова пространства

Нам даны параметрические координаты кривой: x= , y=, z=-. Найдем на ее примере касательную прямую, нормальную плоскость, кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке. Построим кривую.

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке. Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

Вектор () является вектором касательной кривой в точке . Обозначим точку кривой , соответствующую значению параметра , через P, т.е. P=P. Плоскость, проходящая через точку P кривой и перпендикулярная вектору , называется нормальной плоскостью кривой в точке . По вектору = и точке P запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

+=0.

Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

Применим все вышесказанное к нашей кривой: найдем касательную прямую и нормальную плоскость в произвольной и выбранной точке.

В уравнение касательной прямой:

подставим наши координаты: x, y и z вместо , и соответственно, и производные вместо , получим:

Мы получили уравнение касательной прямой в общем виде, теперь найдем уравнение прямой в выбранной точке, приняв :

Нами получено уравнение касательной прямой в выбранной точке. Теперь найдем уравнение нормальной плоскости кривой, по аналогии с нахождением уравнения касательной прямой, подставив в формулу:

+=0

наши координаты:

+=0.

Уравнение нормальной плоскости кривой в произвольной точке найдено. Напишем уравнение в выбранной точке, напомню, что . В итоге получаем:

+=0.

Нами получено уравнение нормальной плоскости кривой в выбранной точке.