Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам

Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка

(1)

имеет решение, разумеется, не следует, что это решение выражается в квадратурах (например, для уравнений первого порядка такая возможность представляется далеко не всегда).

Оставляя в стороне линейные уравнения, рассмотрим здесь некоторые, наиболее важные типы уравнений, интригуемых в квадратурах или по крайней мере допускающих понижение порядка.

Интегрирование таких уравнений будет происходить путем сведения к уравнениям низшего порядка. При этом порядки промежуточных уравнений, называемых промежуточными интегралами, постепенно понижаются, а число входящих в них произвольных постоянных увеличивается.

Интегрирование закончено, когда мы доходим до общего интеграла:

вовсе не содержащего производных и заключающего n произвольных постоянных.

Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения (1) зависит только от x:

Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательных квадратур:

Решение с начальными условиями может быть записано в виде:

Впрочем, на практике обычно не используют готовую формулу, а используют начальные условия, находят значения постоянных постепенно в процессе интегрирования. 2

Примеры:

1)

;

.

2) . Найти решение, удовлетворяющее условиям: , , , . Интегрируя, находим первый интеграл:

Пользуясь начальными условиями, определяем : 1= - 1+; =2; таким образом,

Интегрируем далее:

Используя начальные условия, находим что = - 1; таким образом,

Отсюда, наконец,

И так как в силу начальных условий = - 1, получаем искомое частное решение:

.

Рассмотрим теперь уравнения вида:

Применяя подстановку , получаем:

.

Интегрируя, находим первый (промежуточный) интеграл:

Предполагая возможным решение этого уравнения относительно (в элементарных функциях), получаем:

, или ;

видим, что получили уравнение типа ; квадратур дают общее решение:

. 6

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка

приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Случай 1: пусть правая часть дифференциального уравнения явно не содержит x, т.е. уравнение имеет вид:

Полагая здесь:

и

Получим дифференциальное уравнения первого порядка:

,

Где роль независимой переменной играет . 4

Случай 2: пусть правая часть дифференциального уравнения явно не содержит , т.е. уравнение имеет вид:

полагая здесь:

и

получим уравнение первого порядка:

с известной функцией p 4.

Пример 1:

Решить уравнение

Согласно случаю 1 полагаем и . Тогда уравнение примет вид:

Отсюда:

1. , т.е. , 2. , т.е. и

Потенцируя, будем иметь

и следовательно,

После интегрирования получаем

и значит, что

где и - произвольные постоянные. 2

Пример 2:

Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям и , при .

В уравнении полагаем и . Тогда

или

Полученное уравнение - однородное, поэтому применим следовательно,

и

Подставляя в уравнение , будем иметь

отсюда, или

Интегрируя, получаем

И, следовательно,

т.е. . .

Для определения постоянной используем начальные условия: при . Получаем т.е. и, таким образом,

Отсюда имеем и

Постоянную определяем из начальных условий. Полагая и в формуле , получаем т.е. . Следовательно, искомое частное решение есть

. 2