Введение

Изложению исследования внешней геометрии поверхностей с постоянным типом точек посвящена данная работа. В неё вошли вопросы, относящиеся к выпуклым и седловым поверхностям.

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов, их исследованию посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер.

Дифференциальная геометрия на протяжении XIX в. развивалась в тесном контакте с механикой и анализом, в особенности с теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Так как в этот период в анализе много занимались вопросами формального интегрирования, то и для дифференциальной геометрии была естественной проблематика формально-аналитического направления. Основным объектом теории поверхностей были регулярные поверхности, рассматриваемые "в малом".

В XX в., даже в начале его, вопросы формального характера уже никак не могли считаться актуальными для механики и анализа. Между тем в теории поверхностей подавляющее большинство исследований всё ещё продолжало традиции XIX в. Таким образом, между классической теорией поверхностей, с одной стороны, анализом и механикой - с другой, образовался разрыв. Более современные проблемы и качественные методы анализа и механики оказались чуждыми классической теории поверхностей. И внутри классической теории поверхностей наметилась новая ветвь, предметом которой оставались регулярные поверхности, но исследуемые "в целом"; эта ветвь также смыкалась с современным анализом. Но здесь весьма существенно заметить следующее: в то время как те отделы геометрии "в целом", где изучались свойства твердой поверхности, уже давно располагали довольно развёрнутой системой общих методов (по крайней мере, для выпуклых поверхностей), исследования деформаций поверхностей и связей между их внутренними и внешними свойствами ("в целом") носили отрывочный характер. Всё это объясняется тем, что геометры, работавшие в области геометрии "в целом", подходили к задачам этой области всё ещё со средствами классического анализа, который здесь в большинстве случаев оказывается мало пригодным. Для успешного развёртывания содержательной теории поверхностей оказалось настоятельно необходимым построить систему общих прямых методов исследования внутренних свойств поверхности. Это и было сделано А. Д. Александровым (при участии его учеников И. М. Либермана и С. П. Оловянишникова). Выпуклые поверхности, естественно, представляют собой особенно благоприятное поле для конкретных и геометрически наглядных результатов. Но дело не только в отдельных результатах. Для развития каждого отдела математики важен общий уровень его проблем и методов, важно, чтобы этот уровень соответствовал прогрессу науки. Для развития теории поверхностей важно, чтобы она не была изолированной, замкнутой в себе дисциплиной. Исследования А. Д. Александрова, А.В.Погорелова, А.Л.Вернера и других математиков потому, именно, имеют большое значение для теории поверхностей, что они открывают в ней новые области проблем и соответствующих им методов, идущих в ногу с прямыми методами современного анализа.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к этой теме в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

Целью исследования является изучение теоретических аспектов темы "Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек" с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.