Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца

Задача. Среди гладких кривых, начинающихся в точке (а, А)= (0, 0) и оканчивающихся на прямой x = b > 0, найти кривую наискорейшего спуска.

Решение. Время спуска Т(у) на кривой Y=y(x) определяется интегралом

Лагранжевыми кривыми в данном случае являются циклоиды вида

Условие трансверсальности в данном случае принимает вид

Искомая циклоида должна пересекать прямую х=b ортогонально.

Вершина циклоиды необходимо лежит на прямой х=b.