Поверхность вращения наименьшей площади

Если две точки А и В (см. рисунок) связаны кривой y = f(x) и вся эта фигура вращается около оси x, то кривая образует при этом поверхность вращения.

Площадь этой поверхности зависит от формы кривой, т. е. от формы функции f(x). Существует кривая, обладающая тем свойством, что ее поверхность вращения имеет наименьшую площадь.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение этой кривой. Так как задача похожа на те задачи анализа, где приходится отыскивать точки максимума или минимума кривой, то полезно напомнить рассуждение, при помощи которого такие задачи решаются. Оно состоит в основном из трех шагов.

1) Абсцисса минимальной точки предполагается сначала известной и обозначается, например, буквой х.

2) Отмечается, что передвижение из точки минимума в любом направлении увеличивает функцию, другими словами, что f(x+е) и f(xе) больше f(x).

3) Если е очень мало, то

f(x+е) f(x)+е f(x -- r) f(x) е.

Одно из этих выражений больше f(x), а другое меньше, если только f (х) не обращается в нуль. Но в силу 2) этого быть не может, следовательно в точке минимума производная функция должна исчезать.

Конечно, этого одного недостаточно. Напомним, что условие 3) необходимо также для максимума, и до тех пор пока мы не рассмотрели вторую произ-водную, нельзя узнать, что именно мы получили.

Однако это все, что нужно для наших целей.

Мы решим нашу задачу путем совершенно аналогичным.

1) Предполагаем, что искомая кривая известна и что ее уравнение есть

y=f(x).

2) Если будем менять форму кривой произвольно, то площадь поверхности вращения должна при этом увеличиваться. Если обозначить разность между ординатами новой и старой кривых через е(x), то новое уравнение будет:

y = f(x) + е(x).

3) Можно показать, что если некоторое дифференциальное выражение не равно нулю, то площадь, описанная кривой f(х)+е(х), будет больше площади, описанной кривой f(x), а площадь, описанная кривой f(х) е(x), будет меньше этой последней. Отсюда дифференциальное выражение должно исчезать. Это приводит к дифференциальному уравнению, решение которого определяет искомую кривую.

После того как мы наметили таким образом нашу задачу, приступим к детальному проведению третьего шага. Прежде всего нужна написать выражение для площади поверхности вращения. Это- простая задача анализа, ответом на которую служит выражение:

Заменим теперь y = f(x) новой кривой

y = f(x) + е(x).

При вращении этой кривой получим площадь:

Если е есть малое изменение у, и выбрано так, что е тоже мало, то

а следовательно:

Члены, не написанные в (1), содержат степени е порядка выше первого и могут быть поэтому отброшены. Если dA не равно нулю, то оно меняет знак при изменении знака е. Это означает, что площадь поверхности вращения для новой кривой меньше, чем для самой кривой, что, конечно, противоречит предположению, что она давала наименьшую площадь. Отсюда dA должно обращаться в нуль.

Уравнение (1) является в некотором смысле эквивалентным выражению еf(х) для случая анализа. Однако между ними есть существенная разница. В дифференциальном исчислении е входит только множителем, и поэтому произведение могло равняться нулю только при исчезновении второго множителя. Для уравнения (1) в этой его форме мы не можем этого утверждать. Оно должно быть так изменено, чтобы исчезло . Прежде всего наш интеграл состоит из двух частей, одна из которых содержит е, а другая .

Оставляем первый интеграл без изменения, а второй интегрируем по частям:

Так как условия задачи требуют, чтобы каждая интегральная кривая проходила через точки А и В, то е(х) должно исчезать для обоих пределов интеграции. Поэтому первый член правой части равенства (2) обращается в нуль. Подстановка оставшегося члена в уравнение (1) дает искомое необходимое условие минимума в виде:

Теперь, как в случае дифференциального исчисления еf(x), подинтегральная функция состоит из двух множителей: е(x), которое произвольно, и выражения в скобках, содержащего только f(x) и ее производные. Так же как и в случае задачи дифференциального исчисления, последние фактор должен обратиться в нуль. Действительно, предположим обратное. Тогда в некоторых интервалах между оно отрицательно, в других положительно. Так как е(х) произвольная функция Мы только предполагали е и очень малыми. Однако и эти ограничения не необходимы и были сделаны только для упрощения рассуждения., то она может быть выбрана положительной там, где другой множитель отрицателен, и отрицательной в остальных точках. Тогда (3) будет отрицательным и площадь поверхности уменьшится. Итак, мы приходим к заключению, что искомая кривая y = f(x) должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

Уравнение это настолько просто, что его решение предоставляем читателю. Следует отметить, что это уравнение второго порядка и поэтому может удовлетворять двум граничным условиям. Так как в задаче даются как раз два граничных условия--точки А и В,--то наш результат вполне соответствует поставленной задаче.

Задача Дидоны

Особенный исторический интерес имеет так называемая задача Дидоны. По преданию, Дидона, попав в немилость своему брату Пигмалиону, собрала все деньги, какие могла, и убежала на южный берег Средиземного моря. Там она заключила сделку с царем Иарбасом на покупку такого количества земли, сколько можно было отмерить при помощи шкуры вола.

С остроумием и хитростью, которых всегда достаточно в мифологии, она разрезала кожу на тонкие ремешки, связала их друг с другом и окружила при помощи их место Карфагена. С характерной для финикиян настойчивостью в достижении поставленной цели, она не соединила концы, а поместила их на берегу моря. Задумав свой блестящий план, она встретилась с задачей, каким образом так расположить ремень, чтобы охватить им наивыгоднейшую часть земли, которая может быть максимальной или нет, в зависимости от обстоятельств.

Задача Дидоны состоит, таким образом, в следующем: задана кривая (берег моря), известна цена земли (изменяющаяся с изменением места); как провести кривую заданной длины, чтобы стоимость площади между этими двумя кривыми была максимальной?

Чтобы иллюстрировать метод изучения изопериметрических задач, решим задачу Дидоны для простейшего случая, именно предположим, что земля имеет всюду одинаковую ценность и что берег моря прямолинейный. Кроме того предположим, что концы веревки помещены в две заданные точки, расстояние между которыми равно X Если точки О и X слишком близки между собой, то может случиться, что придется протягивать веревку под точками берега вне интервала (OX), и инте-гралы в написанной форме не верны. Мы не будем рассматривать этих случаев; мы будем считать у однозначной функции х.. Задача сводится к определению кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь.

Следовательно, эта кривая удовлетворяет двум условиям, изложенным на ее длину и на площадь, которую она ограничивает. Выбирая берег моря за ось х и помещая один из концов веревки в начало координат, мы можем записать эти условия в виде равенств:

Первый интеграл имеет заданное значение, второй должен быть сделан наибольшим, путем выбора соответствующей функции f(x).

Пусть искомая кривая, удовлетворяющая поставленным требованиям, имеет уравнение у=f(x), длина ее равна , а ограничиваемая ею площадь равна . Попытаемся применить наш прежний метод и сравним кривую y=f(x) с кривыми у =f(x) е(x), где е(х) мало, но в остальном произвольно.

Очевидно, нельзя уже сказать, что + dA -- новая площадь дли кривой сравнения -- меньше чем . Действительно, кривая сравнения может оказаться длиннее прежней и поэтому заключить большую площадь. Другими словами, наше прежнее рассуждение не годится и мы должны найти новый метод исследования.

Для этой цели рассмотрим вместо кривой Дидоны длины , новую кривую длины + dL, где dL может быть как положительно, так и отрицательно. Предположим, что новая кривая так расположена, что ограничивает максимальную площадь, которая будет больше или меньше , в зависимости от знака dL. Обозначим, наконец, вновь полученную площадь через Мы пишем ДA вместо dA, так как хотим сохранить последний символ для приращения площади при переходе к произвольной кривой. А + ДА, а отношение (или предел этого отношения при dL стремящемся к нулю) через л. Мы можем теперь утверждать, что если мы изменим длину кривой на величину dL, то наибольшая площадь, которую она при этом может ограничивать, будет равна Aо + л dL.

Вернемся теперь к произвольной кривой сравнения у =f(x) + е(x), и пусть эта кривая имеет длину L0 + dL, большую, меньшую или равную Lo. Обозначим через Ао + dA площадь, ограниченную этой новой кривой. Какова бы ни была эта площадь, она не может быть больше A0 + лdL, так как по предположению это--максимальная площадь, для кривой длины Lo + dL. Отсюда следует, что

dA лdL,

или

dA лdL 0.

Это приводит к теореме:

Как бы мы не изменили кривую y = f(x), изменяя ее длину или нет, величина dAлdL никогда не является положительной. Но если dAлdL не положительно, то АлL не может быть больше для новой кривой, чем для прежней. Мы можем, следовательно, высказать полученную теорему в более выразительной форме:

Кривая, для которой величина А наибольшая по сравнению с кривыми той же длины, делает наибольшей величину АлL. по сравнению с кривыми произвольной длины.

Поэтому решить задачу максимума для А с ограничением, что длина кривых сравнения L , равна Lo, -- то же самое, что решить задачу максимума для АлL без всяких ограничений на кривые сравнения. Правда, правильное решение задачи получится только в том случае, если л выбрана правильно, а так как невозможно определить л, не зная решения задачи, то может показаться, что мы ничего не достигли нашим рассуждением.

Мы увидим, однако, что, предполагая пока л неизвестной постоянной, мы найдем в дальнейшем способ ее определения. Итак, интеграл, максимум которого требуется найти, есть:

Обычные преобразования приводят к дифференциальному уравнению:

решение которого

+=л

Это -- уравнение круга, радиуса л, с центром в точке (б, в). В него входят три произвольных постоянных б, в и л, но мы имеем три условия для их определения, так как кривая должна проходить через точки (0,0), (X, 0) и должна иметь длину L.

Простейший способ определения постоянных-- геометрический. Известно, что центр круга, проходящего через две точки А и В, лежит на перпендикуляре, делящем хорду АВ пополам. Отсюда а равняется . Так как гипотенуза и один из катетов треугольника ADC известны, то легко вычислить другой катет.

Итак, получаем для в значение . Наконец, есть величина угла АС В, измеренного в радианах. Угол ACD равен половине этого угла, и его синус равен

Это дает нам уравнение:

откуда можно определить л. Уравнение трансцендентное и его нельзя решить алгебраическим методом. Его можно решить приближенно путем догадки или с помощью рядов. Так, например, если L равно 1,25 X, л оказывается равным , а следовательно, в=-0,234Х. Это как раз тот круг, который изображен на рисунке.

Заключение

Данная курсовая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.

Целью курсовой работы являться рассмотрение геометрических задач и приведение их к дифференциальным уравнениям.

В ходе выполнения данной курсовой работы мы пришли к тому, что часть дифференциальных уравнений разрешимы явно, а часть уравнений явно неразрешимы.

Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что цель курсовой работы достигнута.

Список использованной литературы

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 271 с.

2. Богданов Ю. С. Лекции по дифференциальным уравнениям. - Минск: Вышейшая школа, 1977. - 239 с.

3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. И др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - Киев: Вища школа, 1974. - 471 с.

4. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 1983. - 128 с.

5. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. - М.: Просвещение, 1988. - 256 с.

6. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - Минск: Вышейшая школа, 1987. - 319 с.

7. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Минск: Вышейшая школа, 1974. - 766 с.

8. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: 1952 Ленинград.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1970. - 331 с.

10. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи. - Киев: Вища школа, 1984. - 408 с.

11. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. - М.: Наука, 1964. - 205 с.

12. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1972. - 724 с.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 724 с.

14. Торнтон Фрай. Элементарный курс дифференциальных уравнений. - М.: 1933 Ленинград.

15. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1979. - 352 с.