4. Частные производные высших порядков
Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
или ; или ;
или ; или .
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:
, и т. д.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
,
;
;
.
- 1. Понятие функции двух и более переменных
- 2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- 3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- 4. Частные производные высших порядков
- 5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- 6. Условный экстремум
- Литература
- Тема 7. Функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных
- 9. Функции нескольких переменных
- Тема 11. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
- Iy Функции нескольких переменных
- Функция нескольких переменных План
- Функции нескольких переменных
- Функции нескольких переменных
- Функции нескольких переменных
- IV Функции нескольких переменных