5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ().
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).
Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если - точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.
При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти частные производные первого порядка: и .
2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка: , , .
4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример 6. Найти экстремумы функции .
Решение. 1. Находим частные производные и :
, .
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
или
Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим
, , ,
откуда
.
Находим значения y, соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: .
Таким образом, имеем две критические точки: и .
3. Находим частные производные второго порядка:
; ; .
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:
, , .
Так как
,
то в точке экстремума нет.
В точке :
, ,
и, следовательно,
.
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и .
5. Находим значение функции в точке :
.
- 1. Понятие функции двух и более переменных
- 2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- 3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- 4. Частные производные высших порядков
- 5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- 6. Условный экстремум
- Литература
- Тема 7. Функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных
- 9. Функции нескольких переменных
- Тема 11. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
- Iy Функции нескольких переменных
- Функция нескольких переменных План
- Функции нескольких переменных
- Функции нескольких переменных
- Функции нескольких переменных
- IV Функции нескольких переменных