6. Метод Ньютона (Метод касательных, линеаризации)

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке [a, b], причем f (x) и f "(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале [a, b] и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс. Уравнение касательной в точке C0 имеет вид

y = f(x0) + f (x0)(x - x0). (13)

Далее за приближение корня принимается абсцисса x1, для которой y = 0:

(14)

Затем проводится касательная через новую точку C1(x1, f(x1)) и определяется точка x2 ее пересечения с осью 0x и т.д. В общем случае формула метода касательных имеет вид:

(15)

В результате вычислений получается последовательность приближенных значений x1, x2, ..., xi, ..., каждый последующий член которой ближе к корню x*, чем предыдущий.

Начальное приближение x0 должно удовлетворять условию:

f(x0) f (x0) 0. (16)

В противном случае сходимость метода Ньютона не гарантируется, так как касательная будет пересекать ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. На практике в качестве начального приближения корня x0, обычно выбирается одна из границ интервала [a, b], т.е. x0 = a или x0 = b, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной.

Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости при решении уравнений, для которых значение модуля производной f (x)вблизи корня достаточно велико, т.е. график функции y = f(x) в окрестности корня имеет большую крутизну. Если кривая y = f(x) в интервале [a, b] почти горизонтальна, то применять метод касательных не рекомендуется.

Существенным недостатком рассмотренного метода является необходимость вычисления производных функции для организации итерационного процесса. Если значение f (x) мало изменяется на интервале [a, b], то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой

, (17)

т.е. значение производной достаточно вычислить только один раз в начальной точке. Геометрически это означает, что касательные в точках Ci(xi, f(xi)), где i = 1, 2, ..., заменяется прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой y = f(x) в начальной точке C0(x0, f(x0)).

В заключение необходимо отметить, что все изложенное справедливо в том случае, когда начальное приближение x0 выбрано достаточно близким к истинному корню x* уравнения. Однако это не всегда просто осуществимо. Поэтому метод Ньютона часто используется на завершающей стадии решения уравнений после работы какого-либо надежно сходящегося алгоритма, например, метода половинного деления. Скорость сходимости велика для простого корня и соответствует скорости геометрической прогрессии для кратного корня.

Упрощенный вариант метода

Если const , то (см. рис. 9)

Рис. 9

. (18)

Замечание. Данный вариант метода актуален, если производная сложна.

Пример. Необходимо методом касательных уточнить корень [0;1] уравнения

с точностью 10 -3 (табл. 5) .

.

Таблица 5

x 3 - x 2 < .

0,347 .