1. Основні визначення, позначення й використовувані результати

Приведемо визначення основних понять, використовуваних у даній роботі із джерел [1] і[2]. Для введення поняття алгебри необхідно спочатку визначити -арні операції.

Визначення 1.1. Якщо - непуста множина й , те -арної операцією на множині назвемо відображення прямого добутку в. Розглядаються й -арні операції, які по визначенню, відзначають деякий елемент із .

Визначення 1.2. Пари , де - непуста множина, а (можливо, порожнє) множина операцій на , називається універсальною алгеброю або, коротше, алгеброю.

Сукупність операцій (або опрерационних символів) будемо називати сигнатурою. Часто, при введенні алгебри, указують тільки множину й не вказують сигнатуру.

Елемент алгебри відмічуваний -арної операцією . будемо позначати через .

Визначення 1.3. Підмножина називається підалгеброй, якщо для всякої -арної операції ,

а якщо й - -арна операція з , те

Визначення 1.4. Якщо , - алгебри сигнатури , то прямий добуток

ставати алгеброю тієї ж сигнатури, якщо для кожної -арної операції покласти

а для -арної операції , де , -

Виникаюча в такий спосіб алгебра називається прямим добутком алгебр .

Приведемо деякі визначення з

Визначення 1.5. Відображення з алгебри в алгебру називається гомоморфізмом, якщо для будь-яких елементів і кожної -арної операції ( ) справедлива рівність

Якщо ж - нульарна операція, то думаємо

Гомоморфізм алгебри на називається ізоморфізмом і позначається . Гомоморфізм алгебри в себе називається ендоморфизмом алгебри . Ізоморфізм алгебри в себе називається її автоморфізмом.

Визначення 1.6. Конгруенцією на алгебрі називається всяка підалгебра прямого квадрата , що володіє наступними властивостями:

1) (рефлексивність): для всіх ;

2) (симетричність): якщо , те ;

3) (транзитивність): якщо й , те .

Відзначимо, що умови 1) - 3) означають, що - еквивалентністъ на множині .

Визначення 1.7. Нехай - гомоморфізм алгебри в. Ядром гомоморфізму називається підмножина

У роботі [3] приводяться наступні теореми про ізоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфізму є конгруенцією.

Визначення 1.8. Якщо - конгруенція на алгебрі й , та множина

називається класом конгруенції . Множина всіх класів конгруенції позначають через . При цьому для кожної -арної операції вважають , а для -арної операції , де , - . алгебру, Що Вийшла, називають фактор-алгеброю алгебри по конгруенції .

Теорема Перша теорема про ізоморфизмах 2 Якщо - гомоморфізм алгебри в , те

Теорема Друга теорема про ізоморфизмах 3 Нехай конгруенція на алгебрі , - підалгебра алгебри . Тоді

Визначення 1.9. Якщо , - конгруенції на алгебрі й утримується в , те позначимо

і назвемо фактором алгебри або фактором на .

Теорема Третя теорема про ізоморфизмах 4 Нехай - фактор на алгебрі . Тоді

Визначення 1.10. Якщо й - конгруенції алгебри , то думають

Теорема 5 Добуток дві конгруенції є конгруенцією тоді й тільки тоді, коли вони перестановочні.

Визначення 1.11. Клас алгебраїчних систем називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожний гомоморфний образ кожної -системи належить ;

2) усякий кінцевий піддекартовий добуток -систем належить .

Визначення 1.12. Формальне вираження , де й - слова сигнатури в рахунковому алфавіті , називається тотожністю сигнатури . Скажемо, що в алгебрі виконане тотожність , якщо після заміни букв будь-якими елементами алгебри й здійснення вхідних у слова й операцій ліворуч і праворуч виходить той самий елемент алгебри , тобто для будь-яких в алгебрі має місце рівність

Визначення 1.13. Клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини . Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.