2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

Нагадаємо, що клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини .

Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

Усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевському різноманіттю. Використовуються стандартні позначення й визначення з[2].

У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.

Якщо - конгруенція на алгебрі , то

суміжний клас алгебри по конгруенції . або - діагональ алгебри .

Для довільні конгруенції й на алгебрі будемо позначати множину всіх конгруенції на алгебрі таких, що

тоді й тільки тоді, коли

Тому що , та множина не порожньо.

Наступне визначення дається в роботі[2].

Визначення 2.1. Нехай і - конгруенції на алгебрі . Тоді централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

те

Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються вхідними у фіксоване мальцевське різноманіття .

Наступні властивості отримані Смітом[3], сформулюємо у вигляді леми.

Лема 2.1. Нехай . Тоді:

1) існує єдина конгруенція , що задовольняє визначенню 2.1;

2) ;

3) якщо

те

З леми 2.1. і леми Цорна треба, що для довільної конгруенції на алгебрі завжди існує найбільша конгруенція, що централізує . Вона називається централізатором конгруенції в і позначається .

Зокрема, якщо , те централізатор у будемо позначати .

Лема 2.2. Нехай , - конгруенції на алгебрі , , , . Тоді справедливі наступні твердження:

1) ;

2) , де ;

3) якщо виконується одне з наступних відносин:

4) із завжди треба

Доказ:

1) Очевидно, що - конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. У силу пункту 1) леми 2.1. і .

2) - конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. Значить

3) Нехай . Тоді

Застосуємо до останнього трьох співвідношенням мальцевський оператор такий, що

Тоді одержимо

Аналогічним образом показуються інші випадки з пункту 3).

4) Нехай

Тоді справедливі наступні співвідношення:

Отже,

де - мальцевський оператор.

Тоді

тобто .

Тому що

те .

У такий спосіб . Лема доведена.

Наступний результат виявляється корисним при доказі наступних результатів.

Лема. 2.3. Будь-яка підалгебра алгебри , що містить діагональ , є конгруенцією на алгебрі .

Доказ:

Нехай

Тоді з

треба, що

Аналогічним образом з

одержуємо, що

Отже, симетрично й транзитивне. Лема доведена.

Доказ наступного результату роботи [1] містить пробіл, тому доведемо його.

Лема 2.4. Нехай . Тоді для будь-якої конгруенції на алгебрі .

Доказ:

Позначимо й визначимо на алгебрі бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

де

Використовуючи лему 2.3, неважко показати, що - конгруенція на алгебрі , причому

Нехай

Тобто

Тоді

і, значить

Нехай, нарешті, має місце

Тоді справедливі наступні співвідношення:

застосовуючи мальцевський оператор до цим трьох співвідношенням, одержуємо

З леми 2.2 треба, що

Тому що

те

Виходить,

Але , отже, .

Отже,

і задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.

Лема 2.5. Нехай , - конгруенції на алгебрі , і - ізоморфізм, певний на .

Тоді для будь-якого елемента відображення визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому .

Зокрема, .

Доказ.

Очевидно, що - ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції , ізоморфні відповідно конгруенціям і .

Тому що

те визначена конгруенція

задовольняючому визначенню 2.1.

Ізоморфізм алгебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів і , що належать . Але тоді легко перевірити, що - конгруенція на алгебрі , ізоморфна конгруенції .

Це й означає, що

Лема доведена.

Визначення 2.2. Якщо й - фактори на алгебрі такі, що

те конгруенцію позначимо через і назвемо централізатором фактору в.

Нагадаємо, що фактори й називаються перспективними, якщо або

або

Доведемо основні властивості централізаторів конгруенції.

Теорема 6 Нехай , , , - конгруенції на алгебрі . Тоді:

1) якщо , те

2) якщо , те

3) якщо , і фактори , перспективні, те

4) якщо - конгруенції на й , те

де , .

Доказ.

1) Тому що конгруенція централізує будь-яку конгруенцію й , те

2) З першого пункту леми 2.2 треба, що

а в силу леми 2.4 одержуємо, що

Нехай - ізоморфізм . Позначимо

По лемі 2.5 , а по визначенню

Отже,

3) Очевидно, досить показати, що для будь-яких двох конгруенції й на алгебрі має місце рівність

Покажемо що

Позначимо . Тоді, відповідно до визначення 2.1. на алгебрі існує така конгруенція , що виконуються наступні властивості:

а) якщо , те

б) для будь-якого елемента ,

в) якщо

те

Побудуємо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що - конгруенція на . Нехай

для . Тоді

Тому що - конгруенція, то для кожної -арної операції маємо

Очевидно, що

Отже,

Очевидно, що для будь-якої пари

Виходить,

Отже, по лемі 2.3, - конгруенція на . Покажемо тепер, що задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує . Нехай

Тоді

Тому що , і , те . Отже, задовольняє визначенню 2.1.

Якщо , то

виходить,

Нехай, нарешті, має місце (1) і

Тоді

Тому що й , те, отже, . З (2) треба, що , а за умовою . Виходить, і тому

Тим самим показано, що конгруенція задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує .

Доведемо зворотне включення. Нехай

Тоді на алгебрі визначена конгруенція

задовольняючому визначенню 2.1. Побудуємо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

і , .

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що - конгруенція на алгебрі . Помітимо, що з доведеного включення в одну сторону треба, що . Покажемо тому, що централізує .

Тому що

те

тобто задовольняє умові 1) визначення 2.1.

Якщо , то

отже,

Нехай має місце (3) і .

Тому що

те

З (4) треба, що , отже,

тобто

На підставі леми 2.2 містимо, що

Отже, .

А тому що , те, тобто

4) Позначимо . Нехай

і задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що - конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.

Це й означає, що

Теорема доведена.

Як наслідку, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів у групах і мультікільцях.