§3. Введение логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой
Ту же идею сопоставления арифметической и геометрической прогрессии можно интерпретировать так.
Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой а = 2; q = 1,2.
Строим оси координат и график гиперболы у =
Вдоль оси Ох откладываем от начальной точки О последовательно отрезки:
Величина площади таких фигур не зависит от длины отрезков
…=q=1,2.
Получаем:
площадь на отрезке [1... 1 ] = O.
» » » [1... q] = S;
» » » [1... qІ] = 2S;
» » » [1... qі] = 3S;
» » » [1... q] = 4S;
.............................................................
» » » [1... q?] = nS?;
И здесь имеет место соответствие между геометрической прогрессией
Связь между геометрической прогрессией длин отрезков и арифметической прогрессией площадей можно формулировать cлeдующим образом: возвышению в степень длины отрезка q соответствует умножение площади S на число n. Площадь криволинейной трапеции над отрезком (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.
Ф.Клейн (1849-1925) принадлежит к числу математиков-классиков обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших её лицо излагает свою идею введения логарифмов в школе по простому и естественному способу: по его мнению основным принципом должно быть признание квадратуры уже известных кривых правильным источником для введения новых функций. Это соответствует, с одной стороны, историческому положению вещей, а с другой, методу, применяемому в высших частях математики. Следуя этому общему принципу, надо исходить из гиперболы ?=и назвать логарифмом х число, измеряющее площадь, которая содержится между кривой и осью абсцисс, а с боков ограничена ординатами боков ограничена ординатами и =х
Передвигая вторую ординату, можно легко на основании геометрической интуиции составить себе качественное представление об изменении этой площади при изменении х и, следовательно, приблизительно построить кривую у= ln х. Чтобы возможно более просто получить функциональное уравнение логарифма, можно, например, исходить из равенства
которое получается при преобразовании cпеременных интегрирования; это равенство говорит, что площадь, заключенная между ординатами 1 и х, равна площади, заключенной между ординатами с и с х, в с раз более удаленными от начала. Этот факт легко сделать весьма наглядным геометрически, если обратить внимание на то, что величина площади должна оставаться неизменной, если передвигать ее под гиперболой и в то же время растягивать в такой же мере, в какой уменьшается высота. Но из этой теоремы вытекает непосредственно теорема сложения!
Этот путь можно применить в школьной практике.
- Введение
- Глава1. Исторические аналоги некоторых современных определений логарифма
- §1 Характеристика Европейской математики 16-17 века
- §2 Логарифмы как средство вычислений
- §3 Интегральные методы 17 века
- §4 Грегуар де Сен-Венсан: нахождение площади под гиперболой
- Глава 2. Некоторые современные определения логарифмов
- §1 Об историко-генетическом методе
- §2 Логарифм как показатель степени
- §3. Введение логарифма в школьном курсе математики как площадь под гиперболой
- §4 Интегральное определение логарифма
- Заключение