3. Евклидовы кольца

Неформально, евклидово кольцо -- в абстрактной алгебре -- кольцо, в котором «работает» алгоритм Евклида.

Примеры

· Кольцо целых чисел Z. Пример евклидовой функции -- абсолютное значение .

· Кольцо целых гауссовых чисел Z[i] (где i -- мнимая единица, i² = ? 1) с нормой d(a + ib) = a² + b² -- евклидово.

· Произвольное поле K является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.

· Кольцо многочленов в одной переменной K[x] над полем K. Пример евклидовой функции -- степень deg.

· Кольцо формальных степенных рядов K[[x]] над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда -- номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).

· Евклидовыми являются кольца конечных двоичных и конечных десятичных дробей, так как они являются кольцами частных кольца целых чисел Z.

· Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем C с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов C[x].