Евклидовы кольца.

Итак, мы установили, что в любом кольце главных идеалов, а значит, в частности, в кольце целых чисел, любой элемент разлагается в произведение простых сомножителей, причем это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Кроме того нам известно, что в кольце Z целых чисел справедлива теорема о делении с остатком оказывается, что есть произвольные кольца, в которых справедлива теорема, являющаяся аналогом теоремы о делении с остатком в Z.

Определение 8. Область целостности К называется евклидовым кольцом, если существует отражение множества отличных от O элементов этой области целостности в множество целых неотрицательных чисел N⁰, т.е. , которое удовлетворяет условию: для любых элементов в К существуют такие элементы и , то , причем или .

Пример. Показать, что кольцо целых чисел Z – евклидово. Рассмотрим отображение в N⁰, заданное следующим образом: . В кольце Z выполнима теорема о делении с остатком: , т.е. , . Итак, .

Теорема 9. Каждое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

□ Пусть J – произвольный идеал евклидова кольца К. Если J – нулевой идеал, то J=(0). Предположим, что J – отличный от нулевого идеала. Тогда в J есть элементы, отличные от нуля. Среди отличных от нуля элементов идеала J, очевидно, есть такой элемент , что для любого ненулевого элемента . По определению евклидова кольца, для любого элемента в кольце К существуют такие элементы и , что , причем, если , то .

Но т.к. , то возможность исключается, поскольку это противоречит выбору ,и поэтому . Таким образом, и, значит, J является кольцом главных идеалов, порожденным элементом .■

Поскольку каждое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов, то для элементов любого евклидова кольца справедливы теоремы 7 и 8. Следует заметить, что утверждение, обратное утверждение 9, неверно: существуют кольца главных идеалов, которые не являются евклидовыми.

Мы доказали существование НОД для любых двух элементов а и b кольца главных идеалов. Но мы не выяснили пока, как же отыскать этот НОД. Метода, который бы дал возможность отыскать НОД любых двух элементов произвольного кольца главных идеалов, не существует. В евклидовых кольцах его можно найти с помощью так называемого алгоритма Евклида.

Пусть и – любые отличные от нуля элементы евклидова кольца К и пусть . Тогда по определению евклидова кольца в К существуют такие элементы и , что причем или , или .

Если , то в К существуют такие элементы и , что , причем или , или . Если , то в К и , что существуют такие элементы и , что и т.д.

Поскольку , то этот процесс последовательного деления не может продолжаться бесконечно: в противном случае множество целых неотрицательных чисел не имело бы наименьшего числа. Следовательно, через несколько шагов мы придем к делению с остатком нуль:

Таким образом, мы имеем равенство

…………….

Последнее равенство означает, что – делителем . Но так как каждый из слагаемых правой части предыдущего равенства делится на , то и его левая часть делится на , т.е. является делителем . Аналогично можно доказать, что является делителем . Следовательно, является общим делителем элементов и . Покажем теперь, что делитель на любой общий делитель элементов и . Пусть b – произвольный общий делитель и . Тогда из равенства следует, что , из равенства следует, что и т.д. Наконец, из равенства следует, что . Т.о., элемент является общим делителем элементов и и делится на любой общий делитель этих элементов, т.е. является наибольшим общим делителем элементов и . Говорят, что НОД и равен последнему, не равному нулю, остатку в алгоритме Евклида.