logo search
Анализ модели Ван-дер-Поля

Введение

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Основное требование, предъявляемое к математической модели - адекватность рассматриваемому явлению, то есть она должна достаточно точно отражать характерные черты явления.

  • Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования. Для решения математических задач используются основные группы методов: аналитические и численные. При практическом решении систем уравнений, как правило, не удается получить решение, выраженное через элементарные функции. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются в виде числовых значений.
  • Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования и строится соответствующая математическая модель, представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.).

    • При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики.

    Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия) эти уравнения можно заменить линейными.

    После того, как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например, в виде ряда. Иногда утверждение «задача решена» означает, что доказано существование и единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики.

    Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели («дискретная модель»), которая доступна для реализации на ЭВМ. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.

    Чтобы реализовать численный метод необходимо составить программу для ЭВМ или воспользоваться готовой программой.

    После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению, и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

    Полная погрешность складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.

    Таким образом, ЭВМ изменили подход к применению математики как метода исследования. Они вызвали переориентацию многих сложившихся направлений математики и развитие ряда новых. Благодаря ЭВМ, идет интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также и общественных наук. Важное значение приобрело применение математических методов в экономике. Во многих университетах и институтах созданы факультеты прикладной и вычислительной математики. Подтверждается точка зрения К. Маркса, который, по словам П. Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой».