Комплексные числа (избранные задачи)

2. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. 1).

Рис. 1

Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.

Комплексное число называется комплексной координатой точки (a; b).

Поскольку при указанном соответствии действительные числа изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа , называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа

модуль комплексного числа равен длине вектора .

Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:

Решение

Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.

Покажем их.

Рис.2

Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны и соответственно.

Решение

Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда

Учитывая, что комплексная координата вектора равна , получим .

Ответ: .

Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:

а) , б) , в) , г) , д) ,

е) , ж) , з) , и) , к) .

Решение

а) . Из равенств и , получаем: .

Множество точек - прямая (рис. 3).

Рис. 3.

б) . , . Следовательно, .

Множество точек - верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую (рис. 4).

Рис. 4.

в) . Из равенств и , получаем: .

Множество точек - прямая (рис. 5).

Рис. 5.

г) , , и . Следовательно, .

Множество точек - левая относительно прямой полуплоскость, включая прямую (рис. 6).

Рис. 6.

д) . , поэтому .

Множество точек - прямая . (рис. 7).

Рис. 7.

е) Если , то условия и означают, что и . Множество точек - часть плоскости, ограниченная снизу прямой , справа , исключая указанные прямые (рис. 8).

Рис. 8.

ж) Если , то , и условие означает, что , т.е. . Множество точек - прямая (рис. 9).

Рис. 9.

з) Если , то при условие, что сумма отлична от нуля, имеем , поэтому . Следовательно, , откуда получаем уравнение:

, или .

Преобразуем его

Таким образом, множество точек - это окружность с центром в точке O радиуса , у которой «выколота» точка (рис. 10).

Рис. 10.

и) ; по условию , следовательно, .

Множество точек - окружность с центром в начале координат радиуса 1.

к) По условию , поэтому , т.е. , , , . Последнее условие означает, что либо , либо . В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа неотрицательна.

Приходим к выводу: искомое множество точек - положительная полуось Ox с началом в точке .

Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек , удовлетворяющих условию:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Решение

а) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и точкой . Поэтому заданному условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке (рис. 11).

Рис. 11.

б) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами и соответственно (рис. 12).

Рис. 12.

в) . Из определения главного аргумента комплексного чи-сла следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол с положительным направлением оси Ох.

Рис. 13.

г) . Пусть . Тогда данное соотношение перепишется в виде или .

Отсюда находим: , т.е. .

Таким образом, , и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых . Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки и , восстановленный из его середины.

Рис. 14.

д) Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точ-ке , и второго квадранта (рис. 15).

Рис. 15.

Задача 37. Докажите, что расстояние между точками и равно .

Решение

Так как , а это и

есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками и .

Задача 38. Докажите, что если точка не совпадает с точкой , то равенство задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.

Решение

Все точки , удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству , следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.

Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых .

Решение

Представим выражение в виде разности двух комплексных чисел: . Тогда становится ясно, что равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2.

Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности , тогда неравенству соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.

Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).

Рис. 16.

Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: .

Решение

Равенство является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств , , следует равенство , а значит, , т.е. .

Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).

Рис. 17.

Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .

Решение

. Следовательно, . Таким образом, , , то

, , .

Этим числам соответствуют три точки: A (), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).

Рис. 18.

Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .

Решение

, значит, и .

Получили две точки: B () и C () (рис. 19).

Рис. 19.

Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение

Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если , где x и y - действительные числа, то получаем следующие неравенства: , , , , . Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).

Рис. 20.

Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение

Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:

и . Если положить , то получаем следующие неравенства:

Преобразуем его

, ,

Получаем .

Искомая область - круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).

Рис. 21.

Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение

Положим .

Тогда , .

Неравенство при равносильно неравенству или . Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).

Рис. 22

Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: .

Решение

Представим число как . Тогда

;

По условию, , откуда

; ;

Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(-0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.

Рис.23.

Задача 47. Из всех чисел , удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение.

Решение

I способ.

Пусть . Тогда .

Уравнение задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина принимает наименьшее значение.

Действительно, для точек P и Q значение равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.

Рис. 24.

Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением . Решим систему

Так как , то перейдем к системе

Уравнение имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа и .

II способ. Пусть . Тогда (см. I способ);

Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции при условии . Поскольку функция принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции ц можно рассматривать минимум функции

Преобразуем последнее выражение к виду

так как , то ,

откуда .

Произведем замену и найдем значение t, для которых достигается минимум функции или , или после замены - те значения p, при которых минимально выражение .

Исследуем функцию с помощью производной. Имеем ; , если , т.е. если , а . Последнее равенство выполняется при .

Нетрудно убедиться в том, что если , то , т.е. убывает, а если , то , т.е. возрастает. При функция принимает наименьшее значение.

Значению соответствует , при . Отсюда, учитывая соотношение , находим , или , и получаем окончательный ответ.

Ответ: и .

Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности, если бы на отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.

Задача 48. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение

Представим в виде и преобразуем заданную дробь:

Мнимая часть дроби равна .

Неравенство равносильно системе

Неравенство перепишем в виде . Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 25.

Рис. 25.

Задача 49. Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию: , найдите число с наименьшим модулем.

Решение

Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел и w величина равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами и w. Точки, соответствующие числам , для которых выполняется равенство , равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую . Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу - числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.

Ответ: .

Задача 50. Пусть M - множество точек комплексной плоскости таких, что ; K - множество точек комплексной плоскости вида , где . Найдите расстояние между фигурами M и K.

Решение

I способ.

Пусть ; тогда , откуда

. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке O1 (0; ) и радиусом 0,5.

По условию, , т.е. . Полагая , имеем и .

Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (-; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26) является длина отрезка PN линии центров, т.е. .

Рис. 26.

Ответ: 1.

Замечание. Геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1 соответственно (рис. 27), что , . Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняется неравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P1N1 > PN.

Рис. 27.

II способ.

Запишем неравенства . Таким образом, . Это значит, что расстояние от точек фигуры M до точки O1 (0; ) постоянно и равно 0,5. фигура M - окружность с центром в точке O1 и радиусом 0,5. Условие означает, что множество K получено поворотом точек множества M на угол вокруг начала координат, т.е. представляет собой окружность с центром в точке O2 (-; 0) и радиусом 0,5. Дальнейшие рассуждения такие же, как при решении I способом.

Задача 51. Найдите наибольший модуль комплексного числа , удовлетворяющего условию .

Решение

Так как , а . Это круг с центром в точке A (3; 4) и радиусом .

Поскольку OA= 5, , имеем . Среди точек круга существует точка , для которой . Это точка пересечения границы круга и продолжения отрезка OA.

Ответ: 6.

Задача 52. Решите систему уравнений

Решение

Так как , то . Это множество - серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A (0; 2), B (0; 4) - точки, соответствующие числам и . Уравнение этого перпендикуляра есть . Из второго уравнения системы имеем . Пусть , тогда . Так как для каждой из искомых точек, то ; . корнями этого уравнения являются числа 2 и - 4. системе уравнений удовлетворяют 2 числа: и .

Ответ: ; .

Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .

Решение

Пусть , тогда и, значит,

, . Исходное неравенство перепишется так: . Последнее неравенство можно заменить системой двух условий: и , или и .

Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая ) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).

Рис. 28.

Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие . В каких пределах изменяется .

Решение

Множество точек, заданное условием , определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством .

Пусть , тогда , , . Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение при условии . Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях система

имеет хотя бы одно решение?

Последняя система равносильна следующей:

или

Эта система имеет решения тогда, когда имеет решение квадратное неравенство . Так как коэффициент при положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем

при .

Ответ: .

Содержание