2.1. Комплексные числа в алгебраической форме
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида
,
где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение
.
Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
.
Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению
, или ,
следовательно, .
Символ называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида
.
Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.
Итак, комплексными числами называются выражения вида
,
где и - действительные числа, а - некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число - его мнимой частью. Для их обозначения используются символы
, .
Комплексные числа вида являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства
, .
Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
.
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
.
1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:
.
2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:
.
3. Коммутативный закон умножения:
.
4. Ассоциативный закон умножения:
.
5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:
.
6. .
7. .
8. .
9. Любому комплексному числу соответствует противоположное комплексное число такое, что .
10. Всякому комплексному числу отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число такое, что .
Степени мнимой единицы.
Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т.е. если , где n - натуральное число, то
;
при этом
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если
.
Свойства операции сопряжения.
1.
2. Для любого действительного числа a справедливо равенство
3. Для любого действительного числа b справедливо равенство
4.
5.
Следствие из 5.
6.
7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.
Следствие из 7.
Модулем комплексного числа называется действительное число вида
.
8. Теорема о сопряженном корне.
Если число является корнем уравнения
(1)
с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an , то число также является корнем уравнения (1).
Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть
,
где x и y - действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
.
Что равносильно системе
Решая эту систему, получаем:
; .
Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле
.
В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .
Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения , если:
а) ; б) ; в) .
Решение
а) .
Так как , то это уравнение можно записать в виде или . Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем , откуда , .
б) .
Учитывая, что , преобразуем это уравнение: , , , , откуда , .
в) .
Преобразуем , , , откуда , .
Ответ: а) ; б) ; в) .
Задача 2. Найдите x и y, для которых .
Решение
Получим и решим систему двух уравнений:
Ответ: .
Задача 3. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: .
Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?
Решение
Комплексные числа и будут противоположными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?
Решение
Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 6. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: .
Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .
Решение
Так как , тогда корни находятся по формуле
().
Отсюда, , .
Ответ: .
Задача 8. Решите уравнение .
Решение
Перепишем уравнение в виде .
Полагая , получим уравнение , которое имеет корень . Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена и квадратного трехчлена.
Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:
|
1 |
1 |
2 |
- 4 |
||
|
1 |
1 |
2 |
4 |
0 |
Итак, получаем уравнение .
Квадратный трехчлен имеет корни и .
Следовательно, исходное уравнение имеет корни: , , .
Ответ: ; .
Задача 9. Решите уравнение .
Решение
Корни данного уравнения находятся по формулам
, ,
где и - числа, удовлетворяющие условию . Отсюда . Пусть , тогда , т. е. . Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части:
Находим два решения этой системы: , . Таким образом,
решениями исходного уравнения являются числа , и
, т. е. , .
Ответ: ; .
Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:
а) ; б) ; в) .
Решение
а)
б)
в)
Ответ: а) ; б) ; в) .
Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
Задача 12. Запишите комплексное число в виде .
Решение
Имеем
Ответ: .
Задача 13. Найдите значение функции при .
Решение
Подставим значение x в функцию:
.
Вычислим второе слагаемое:
.
Вычислим первое слагаемое:
.
Таким образом, .
Ответ: .
Задача 14. Вычислите ; ; ; .
Решение
С помощью формулы:
Легко получаем:
;
;
;
.
Ответ: ; ; ; .
Задача 15. Выполните указанные действия: .
Решение
Вычислим значение дроби .
Следовательно,
Ответ: .
Задача 16. Решите уравнение .
Решение
По формуле , находим:
.
Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: и . Найдем сумму и произведение этих корней: , . Число 4 - это второй коэффициент уравнения , взятый с противоположным знаком, а число 13 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если и - корни уравнения , где , .
Ответ: .
Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень .
Решение
Второй корень уравнения является числом, сопряженным с данным корнем , то есть . По теореме Виета находим
; ,
где число 2 - это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 - свободный член. Таким образом, получаем уравнение
.
Ответ: .
Задача 18. Даны числа ; . Найдите:
а); б) .
Решение
а) , тогда
б) , тогда
Ответ: а) ; б) .
Задача 19. Зная, что корнем уравнения является число , найдите все корни данного уравнения.
Решение
Поскольку все коэффициенты данного уравнения - действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число также является корнем данного уравнения.
Пусть - неизвестный корень уравнения , тогда , где
, получаем .
Разделим обе части последнего равенства на , получим .
Следовательно, .
Ответ: ; .
Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Решение
Пусть - искомое комплексное число, где x и y - действительные числа. Тогда число , сопряженное числу , равно .
По условию задачи имеем: , т.е. .
Преобразовав это уравнение, получим: .
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:
Возможны два случая:
1) . Тогда система равносильна системе: , которая
имеет следующие решения: ; .
2) . Тогда система равносильна системе , которая имеет два решения: и .
Итак, искомых чисел четыре: ; ; , из них два числа и - действительные, а два других и - комплексно сопряженные.
Ответ: ; ; .
Задача 21. Известно, что , . Найдите:
а) ; б) .
Решение
а) ,
б) .
Ответ: а) ; б) .
Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут сопряженными?
Решение
Комплексные числа и будут ком-
плексно сопряженными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 23. Докажите тождество .
Решение
Пусть , , . Тогда , ,, ,,.
Отсюда легко следует доказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, что если число является чисто мнимым, то .
Решение
По условию , где b - действительное число, тогда , , .
Тождество доказано.
Задача 25. Пусть . Докажите, что .
Решение
Поскольку , то
Тождество доказано.
Задача 26. Решите уравнение .
Решение
Пусть . Тогда данное уравнение запишется в виде , откуда . Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему:
Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде или . Отсюда находим или . Таким образом, числа , , являются решениями данного уравнения.
При y=0 для нахождения x получаем уравнение . Отсюда следует, что x=0, и тем самым .
Ответ: ; ; .
Задача 27. Решить систему уравнений:
Решение
Полагая , имеем
следовательно, и .
После преобразований данная система принимает вид
Решение полученной системы является пары и . Таким образом, исходная система имеет два решения и .
Ответ: ; .
Задача 28. Докажите, что если , то .
Решение
Предположим, что существует такое комплексное число , , для которого выполнено неравенство . Тогда , или .
Поскольку
то и - действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: .
Следовательно, .
Полученное противоречие доказывает утверждение.
Задача 29. Решите уравнение .
Решение
По формулам корней квадратного уравнения имеем: .
Извлекая корень квадратный из числа , получаем .
Следовательно, ;
.
Ответ: ; .
Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа .
Решение
Пусть , где .
По формуле
Таким образом .
Ответ: .
Задача 31. Решите уравнение: .
Решение
Имеем , ,
.
Получаем
Извлечем квадратный корень из комплексного числа по формулам:
; ;
Так как , Тогда
Итак, , тогда
Где и
Можно сделать проверку по теореме Виета:
и .
Ответ: ; .
Задача 32.
Пусть , . При каких действительных значениях a и b выполняется условие ?
Решение
Находим
.
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
Ответ: .
Yandex.RTB R-A-252273-3