Комплексные числа (избранные задачи)

дипломная работа

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

,

где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

.

Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению

, или ,

следовательно, .

Символ называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида

.

Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

,

где и - действительные числа, а - некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число - его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

, .

Комплексные числа вида являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.

Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства

, .

Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

6. .

7. .

8. .

9. Любому комплексному числу соответствует противоположное комплексное число такое, что .

10. Всякому комплексному числу отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число такое, что .

Степени мнимой единицы.

Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т.е. если , где n - натуральное число, то

;

при этом

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если

.

Свойства операции сопряжения.

1.

2. Для любого действительного числа a справедливо равенство

3. Для любого действительного числа b справедливо равенство

4.

5.

Следствие из 5.

6.

7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

Следствие из 7.

Модулем комплексного числа называется действительное число вида

.

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число является корнем уравнения

(1)

с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an , то число также является корнем уравнения (1).

Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть

,

где x и y - действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем

.

Что равносильно системе

Решая эту систему, получаем:

; .

Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле

.

В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .

Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения , если:

а) ; б) ; в) .

Решение

а) .

Так как , то это уравнение можно записать в виде или . Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем , откуда , .

б) .

Учитывая, что , преобразуем это уравнение: , , , , откуда , .

в) .

Преобразуем , , , откуда , .

Ответ: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите x и y, для которых .

Решение

Получим и решим систему двух уравнений:

Ответ: .

Задача 3. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Ответ: .

Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?

Решение

Комплексные числа и будут противоположными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?

Решение

Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

Задача 6. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Ответ: .

Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .

Решение

Так как , тогда корни находятся по формуле

().

Отсюда, , .

Ответ: .

Задача 8. Решите уравнение .

Решение

Перепишем уравнение в виде .

Полагая , получим уравнение , которое имеет корень . Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена и квадратного трехчлена.

Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:

1

1

2

- 4

1

1

2

4

0

Итак, получаем уравнение .

Квадратный трехчлен имеет корни и .

Следовательно, исходное уравнение имеет корни: , , .

Ответ: ; .

Задача 9. Решите уравнение .

Решение

Корни данного уравнения находятся по формулам

, ,

где и - числа, удовлетворяющие условию . Отсюда . Пусть , тогда , т. е. . Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части:

Находим два решения этой системы: , . Таким образом,

решениями исходного уравнения являются числа , и

, т. е. , .

Ответ: ; .

Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:

а) ; б) ; в) .

Решение

а)

б)

в)

Ответ: а) ; б) ; в) .

Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 12. Запишите комплексное число в виде .

Решение

Имеем

Ответ: .

Задача 13. Найдите значение функции при .

Решение

Подставим значение x в функцию:

.

Вычислим второе слагаемое:

.

Вычислим первое слагаемое:

.

Таким образом, .

Ответ: .

Задача 14. Вычислите ; ; ; .

Решение

С помощью формулы:

Легко получаем:

;

;

;

.

Ответ: ; ; ; .

Задача 15. Выполните указанные действия: .

Решение

Вычислим значение дроби .

Следовательно,

Ответ: .

Задача 16. Решите уравнение .

Решение

По формуле , находим:

.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: и . Найдем сумму и произведение этих корней: , . Число 4 - это второй коэффициент уравнения , взятый с противоположным знаком, а число 13 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если и - корни уравнения , где , .

Ответ: .

Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень .

Решение

Второй корень уравнения является числом, сопряженным с данным корнем , то есть . По теореме Виета находим

; ,

где число 2 - это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 - свободный член. Таким образом, получаем уравнение

.

Ответ: .

Задача 18. Даны числа ; . Найдите:

а); б) .

Решение

а) , тогда

б) , тогда

Ответ: а) ; б) .

Задача 19. Зная, что корнем уравнения является число , найдите все корни данного уравнения.

Решение

Поскольку все коэффициенты данного уравнения - действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число также является корнем данного уравнения.

Пусть - неизвестный корень уравнения , тогда , где

, получаем .

Разделим обе части последнего равенства на , получим .

Следовательно, .

Ответ: ; .

Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.

Решение

Пусть - искомое комплексное число, где x и y - действительные числа. Тогда число , сопряженное числу , равно .

По условию задачи имеем: , т.е. .

Преобразовав это уравнение, получим: .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:

Возможны два случая:

1) . Тогда система равносильна системе: , которая

имеет следующие решения: ; .

2) . Тогда система равносильна системе , которая имеет два решения: и .

Итак, искомых чисел четыре: ; ; , из них два числа и - действительные, а два других и - комплексно сопряженные.

Ответ: ; ; .

Задача 21. Известно, что , . Найдите:

а) ; б) .

Решение

а) ,

б) .

Ответ: а) ; б) .

Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут сопряженными?

Решение

Комплексные числа и будут ком-

плексно сопряженными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

Задача 23. Докажите тождество .

Решение

Пусть , , . Тогда , ,, ,,.

Отсюда легко следует доказываемое тождество.

Задача 24. Докажите, что если число является чисто мнимым, то .

Решение

По условию , где b - действительное число, тогда , , .

Тождество доказано.

Задача 25. Пусть . Докажите, что .

Решение

Поскольку , то

Тождество доказано.

Задача 26. Решите уравнение .

Решение

Пусть . Тогда данное уравнение запишется в виде , откуда . Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему:

Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде или . Отсюда находим или . Таким образом, числа , , являются решениями данного уравнения.

При y=0 для нахождения x получаем уравнение . Отсюда следует, что x=0, и тем самым .

Ответ: ; ; .

Задача 27. Решить систему уравнений:

Решение

Полагая , имеем

следовательно, и .

После преобразований данная система принимает вид

Решение полученной системы является пары и . Таким образом, исходная система имеет два решения и .

Ответ: ; .

Задача 28. Докажите, что если , то .

Решение

Предположим, что существует такое комплексное число , , для которого выполнено неравенство . Тогда , или .

Поскольку

то и - действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: .

Следовательно, .

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Задача 29. Решите уравнение .

Решение

По формулам корней квадратного уравнения имеем: .

Извлекая корень квадратный из числа , получаем .

Следовательно, ;

.

Ответ: ; .

Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа .

Решение

Пусть , где .

По формуле

Таким образом .

Ответ: .

Задача 31. Решите уравнение: .

Решение

Имеем , ,

.

Получаем

Извлечем квадратный корень из комплексного числа по формулам:

; ;

Так как , Тогда

Итак, , тогда

Где и

Можно сделать проверку по теореме Виета:

и .

Ответ: ; .

Задача 32.

Пусть , . При каких действительных значениях a и b выполняется условие ?

Решение

Находим

.

Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему

Ответ: .

Делись добром ;)