Комплексные числа (избранные задачи)

2.5. Комплексные числа и параметры

«Параметр (от греч. - отмеривающий) величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Например, уравнение , где а > 0, хR, yR, задает множество всех концентрических ок-ружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. 33).

Рис. 33.

Если а = 1, то получим окружность 1), если а = 2, то - окружность 2) и т.д.

Интересно и следующее определение параметра «Неизвестные величины, значения которых задаем мы сами, называются параметрами».

Пусть, например, нужно решить уравнение

. Вряд ли легко мы справимся с этим уравнением, если будем решать относительно x, считая a параметром.

Лучше сначала считать х параметром и решать квадратное относительно а уравнение , а затем поменять x и a ролями.

Получим Остается решить два уравнения что труда уже не составит.

Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексные числа и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями (неравенствами) с параметром.

Определение 1. Пусть дано равенство с переменными x и a:. Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение называется уравнением с переменной x и параметром a.

Параметр обычно обозначается первыми буквами ла-тинского алфавита: а, b, с, d ...

Переменная, относительно которой решается уравнение последними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, и, v.

Определение 2. Под областью определения уравнения с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых имеет смысл.

Иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой не-равенств, множество решений которой и является областью определения уравнения.

Определение З. Под решением уравнения c параметром a будем понимать систему значений x и a области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.

Определение 4. Решить уравнение с параметром a - это значит, для каждого действительного значения a найти все решения данного уравнения или уста-новить, что их нет.

Определение 5. Уравнения и равносильны при фиксированном значении а = а0, если уравнения без параметра и рав-носильны.

Определение 6. Уравнение является следствием уравнения при некотором значении a=а0, если множество решений уравнения содержится среди множества решений уравнения .

Задача 74. Определите семейство линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями:

а) ; б) .

Решение

а) . О.О.У.:

Решаем уравнение (1).

1) Пусть : получим уравнение оси абсцисс, исключая начало координат.

2) : , . Это семейство концентрических окружностей с центром в точке радиуса .

б) .

Пусть , тогда . И .

1) Если , то полу чаем семейство из двух прямых с уравнениями и .

2) Если , то - семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .

3) Если , то - семейство равносторонних гипербол с уравнениями

, с вершинами в точках , и асимптотами и .

Ответ: а) 1. Если , то - уравнение оси абсцисс, исключая точку .

2. Если , то - семейство концентрических окружностей с центром в точке радиуса .

б) 1. Если , то - семейство из двух прямых с уравнениями и .

2. Если , то - семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .

3. Если , то - семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .

Задача 75. При каких значениях n верно равенство .

Решение

Тригонометрическими формами записи комплексных чисел и , являются и .

Возведем в степень n, получим и .

Тогда:

Ответ:

Задача 76. При каком значении d уравнением задана ось ординат в комплексной плоскости, исключая начало координат?

Решение

О.О.У.:

Пусть . Тогда .

, .

Если , то получим уравнение .

Ответ: .

Задача 77. Среди всех комплексных чисел z таких, что , где , есть ровно одно число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Решение

Запишем искомое число в тригонометрической форме:

. Тогда и .

Перейдем к уравнению , где . Получаем квадратное уравнение , где , .

Рассмотрим 2 случая:

1. : ,

. Тогда и .

2. :

Введем функцию . Интересует случай, когда один из корней квадратного трехчлена больше 0, а другой - меньше 0 (Рис. 34).

Рис. 34.

Достаточно решить систему неравенств: Эта система несовместна, поэтому такой случай невозможен.

Ответ: .

Задача 78. При каких действительных значениях a среди комплексных чисел таких, что , нет ни одного числа, модуль которого равен 2.

Решение

Комплексное число с модулем запишется так: .

Тогда .

Получим уравнение .

1. Если , то уравнение действительных решений не имеет.

2. Пусть :

Решая систему методом «лепестков» (Рис. 35), видим, что она несовместна.

Рис. 35.

3. : ,

Последнее уравнение не имеет корней, если a удовлетворяет системе:

Изобразим графически решение в данных случаях (рис. 36).

Рис. 36.

Ответ: .

Задача 79. Для каждого действительного числа a найдите все комплексные числа , удовлетворяющие равенству: а) ;

б) .

Решение

а) Пусть , тогда из исходного уравнения имеем .

Отсюда получаем систему для нахождения x и y:

из которой следует, что . Подставляя это значение x в первое уравнение, имеем . Корни этого уравнения действительны тогда и только тогда, когда его дискриминант является действительным числом, т. е. . Для этих значений a найдем причем , то . Неравенство выполняется для всех a из промежутка . Таким образом, исходное уравнение при имеет два корня: , при решений не имеется.

б) Перепишем данное уравнение в виде . Так как и a - действительные числа, то отсюда заключаем, что число z является чисто мнимым числом.

Пусть , тогда из исходного уравнения находим, что , т. е. .

Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:

Уравнение имеет два корня: при любом значении a. Неравенству удовлетворяет (при любом значении a) только число .

Уравнение второй системы совокупности имеет действительные решения только при условии , т. е. при . Корнями этого уравнения при каждом являются числа .

Содержание