1.2 Еволюція важкої частинки в системі броунівських частинок зі склеюванням

Розглянемо наступну систему частинок. Частики, стартують з усіх цілих точок прямої і ті частинки, що стартували з ведуть себе аналогічно тим, які розглядались у першому пункті. Частина, що стартувала з має масу і при склеюванні з іншими частинками її маса зростає, а дифузія зменшується, а саме: маса частинки в момент часу рівна кількості частинок, що склеїлись з нею до моменту часу і дифузія обернено пропорційна масі.

У даному пункті, використовуючи побудовану систему вінерівських процесів із склеюванням (див. теорема 1) буде побудовано сукупність процесів, що описує поведінку даної системи процесів зі склеюванням. Має місце наступна теорема.

Теорема 2. Нехай ? система випадкових процесів, яка задовольняє властивості 1) - 3) теореми 1. Тоді існує випадковий процес , такий, що

a) , ? неперервний квадратично інтегрований мартингал відносно фільтрації

;

b) ;

c) для довільного

Де ;

d) для довільних і

,

Де .

Крім того, розподіл , не залежить від вибору сукуності процесів .

Для доведення теореми доведемо допоміжну лему.

Лема 1. Нехай ? неперервний квадратично інтегровний мартингал з характеристикою

, ,

Де ,

який стартував з . Тоді

,

де , (3)

? стандартний вінерівський процес.

Доведення. Оскільки ? квадратично інтегровний мартингал, то за теоремою представлення [2] існує вінерівський процес , такий, що

. (4)

Позначимо для

.

Тоді з (4), маємо, що

.

Отже, .

За умовами леми

.

Отже, .

Звідси .

Лему доведено.

Доведення теореми 2. Нехай ? стандартний вінерівський процес, який не залежить від . Використовуючи процес , побудуємо .

Візьмемо , і , .

Нехай , , уже побудовані. Визначимо

,

,

Покажемо, що м.н. Спочатку відмітимо, що зростає. Нехай

,

.

Тоді з побудови легко бачити, що . (5)

Покажемо, що . Позначимо

, .

Тоді ? неперервний квадратично інтегровний мартингал з характерис-тикою

.

Згідно леми 1 для довільне

.

Оскільки [5], то .

Аналогічно . Звідси . Отже, з (5) .

Використовуючи лему Рісса існує підпослідовність : м.н.

З монотонності маємо, що м.н. (6)

Зауважимо, що

.

Звідси і з (6) існує границя

Причому

при . (7)

З (7) та з побудови , , легко бачити, що задовольняє умови теореми.

Теорему доведено.

1.3 Асимптотичні властивості нескінченної системи

Нехай , випадковий процес, який задовольняє властивості a) - d) теореми 2. У даному пункті буде досліджено асимптотичні властивості , , та .

Лема 2. Існує стандартний вінерівський процес , такий, що

Доведення леми випливає з теореми [2].

Лема 3. Для довільних та виконується

.

Доведення леми аналогічне доведенню леми 1.

Лема 4.

Доведення. Рівність (8) еквівалентна

,

.

Нехай , , , де , а вибирається так, щоб вираз був визначений. Позначимо також .

Оцінимо

.

Розглянемо при і

,

де , та - незалежні стандартні вінерівські процеси,.

Використовуючи асимптотику хвоста функції розподілу стандартного нормального закону, маємо

,

де вибираємо так, щоб .

Оскільки , то в силу леми Бореля-Кантеллі отримаємо, що

Лему доведено.

Лема 5. Для довільного процеси і склеюються за скінченний час, тобто .

Доведення. Нехай ? система процесів, яка визначена у теоремі 2. Відмітимо, що з умови d) теореми 2 і леми 2

,

Побудуємо незалежний вінерівський процес , такий, що

, (9)

, . (10)

Це можна зробити наступним чином.

Нехай , ? вінерівський процес, що не залежить від і . Покладемо

Тоді задовольняє (9) та (10). Покладемо

Тоді

Використовуючи лему 4, отримуємо

а це означає, що при . Із теореми представлення випливає, що - стандартний вінерівський процес. Нехай

.

. (11)

Запишемо

.

Звідси випливає, що .

Із останньої рівності і властивості (11) маємо, що .

Лему доведено.

Лема 6. Для довільного

Доведення. Доведемо першу рівність.

Як і у випадку леми 5, можна показати, що при . Із теореми представлення випливає, що існує стандартний вінерівський процес такий, що

.

Використовуючи закон повторного логарифма для вінерівського процесу, маємо

Візьмемо довільне і виберемо так, щоб . Тоді для

Спрямувавши до нескінченності, отримуємо доведення першої рівності.

Доведемо другу рівність. Ми будемо використовувати позначення із доведення леми 4. Отже

Візьмемо , тоді в силу монотонності отримаємо, що

Нехай , і . Розглянемо

Прямуючи до одиниці та враховуючи довільність , отримаємо потрібну рівність.

Лему доведено.