4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.

Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.

Теорема Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .

обозначает произведение всех разрешимых инвариантных в подгрупп.

Следствие Пусть группа обладает факторизацией, указанной в теореме(3). Тогда, если порядок не равен 3 или 1, то разрешима.

Доказательство теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа примарная. Описанию этого случая, причем без предположения четности порядка подгруппы , посвящена

Теорема Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , где --- силовская 3-подгруппа;

7) , порядок равен , а .

Так как бипримарные группы разрешимы, то группа из теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа. Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).

Если будут известны все простые группы порядка , где , и --- различные простые числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности подгруппы .

Используются следующие обозначения: и --- симметрическая и знакопеременная группы степени , , и --- циклическая, элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка . Полупрямое произведение групп и с инвариантной подгруппой обозначается через . Примарной называется группа, порядок которой есть степень простого числа.

Предварительные леммы

Лемма Если группа является произведением двух подгрупп и взаимно простых порядков и --- субинвариантная в подгруппа, то .

Доказательство. Если --- инвариантная в подгруппа, то --- -холловская в подгруппа, где , а --- -холловская в подгруппа(9). Поэтому . Если теперь --- инвариантная в подгруппа, то опять

и т. д.

Лемма Если группа является произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы, то разрешима.

Доказательство. Пусть , --- -группа, --- нечетное простое число, --- 2-разложимая группа. В существует силовская -подгруппа такая, что , где --- некоторая силовская -подгруппа из (7). Так как разрешима, то , где --- -холловская подгруппа из . Но теперь . По лемме Бернсайда (5)группа непроста. Инвариантная подгруппа в по лемме факторизуема, т. е. , поэтому разрешима по индукции. Фактор-группа также разрешима по индукции. Поэтому разрешима и .

Лемма Группы и не содержат бипримарные холловские подгруппы.

Доказательство. Пусть . Тогда порядок равен и силовская 7-подгруппа в самоцентрализуема. Так как порядок больше порядка , то не содержит подгруппы порядка .

Предположим, что существует подгруппа порядка . По теореме Силова о числе силовских подгрупп подгруппа 7-замкнута, т. е. подгруппа порядка 7 из инвариантна в . Но теперь изоморфна подгруппе группы всех автоморфизмов , которая изоморфна . Противоречие.

Допустим, что есть подгруппа порядка . Как и в предыдущем случае, подгруппа не может быть 7-замкнутой. Так как индекс в нормализатора силовской 7-подгруппы сравним с 1 по модулю 7, то и . Поэтому 4 должно делить порядок , а это невозможно. Таким образом, в нет бипримарных холловских подгрупп.

Теперь пусть . Тогда порядок равен , силовская 3-подгруппа из неабелева и . Силовская 2-подгруппа также неабелева и имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской 5-подгруппы в имеет порядок 20, а централизатор в совпадает с .

Предположим, что существует подгруппа порядка . Тогда 3-замкнута, а так как ненильпотентна, то . Подгруппа неабелева, поэтому минимальная инвариантная в подгруппа имеет порядок не более чем . Теперь изоморфна подгруппе из группы всех авторморфизмов . Но --- элементарная абелева, поэтому , где , и имеет порядок, не делящийся на 5. Таким образом, , но тогда . Противоречие.

Допустим, что существует подгруппа порядка . Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. Так как имеет порядок 20, то неинвариантна в и есть 2-группа. По теореме Машке подгруппа есть прямое произведение неприводимых -групп . Подгруппа самоцентрализуема, поэтому не централизуют и по порядок равен для всех . Следовательно, и . Фактор-группа имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута и инвариантна в . Теперь . Пересечение инвариантно в , поэтому . Таким образом, , и изоморфна циклической группе порядка 4 из . Это противоречит тому, что имеет экспоненту 2.

Если G содержит подгруппу порядка , то индекс этой подгруппы в будет равен 5. Поэтому изоморфна подгруппе симметрической группы степени 5. Но порядок больше порядка . Противоречие.

Лемма Группа содержит подгруппу порядка и не содержит бипримарные холловские подгруппы других порядков.

Доказательство. Пусть . Тогда порядок равен и --- дважды транзитивная группа степени 13. Поэтому стабилизатор одной точки будет холловской подгруппой порядка . Силовская 3-подгруппа в неабелева. Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок , а централизатор --- 13 .

Пусть --- подгруппа порядка . По теореме Силова --- 13-замкнута. Поэтому центр неединичен. Противоречие.

Допустим, что есть подгруппа порядка . Так как не 13-замкнута, то минимальная инвариантная в подгруппа есть 3-группа. Подгруппа абелева, поэтому . Теперь силовская 13-подгруппа централизует . Значит, центр отличен от 1. Противоречие.