3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

Пусть конечная группа является произведением двух своих подгрупп и , причем есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы при дополнительных ограничениях на подгруппы и получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если дедекиндова, т. е. в все подгруппы инвариантны, то простая группа описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа в случае, когда --- нильпотентная группа.

Основным результатом настоящей заметки является

Теорема Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .

обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.

Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, где состоит из простых делителей порядка и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа есть группа Шмидта, а --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).

Рассматриваются только конечные группы. обозначает порядок группы , а --- множество всех простых делителей . Если --- некоторое множество простых чисел, то --- наибольшая инвариантная в -подгруппа. --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в .

Свойства групп Шмидта хорошо известны , наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.

Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.

Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то для некоторого .

Теорема Гольдшмидт 10 Если в простой группе силовская 2-подгруппа неабелева и , для всех и некоторой абелевой неединичной подгруппы из , то или .

Лемма Пусть разрешимая группа , где --- группа нечетного порядка, --- 2-замкнутая группа четного порядка и . Если , то

Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Введем следующие обозначения: ; --- минимальная инвариантная в подгруппа; ; --- силовская 2-подгруппа; --- ее дополнение. Ясно, что . Если , то , отсюда и . Пусть и --- минимальная инвариантная -подгруппа в . Тогда и , где --- силовская -подгруппа для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того, неинвариантна в , значит --- собственная в подгруппа. Замечание Фраттини дает, что . Теперь и . Так как , то , т. е. --- собственная в подгруппа. Порядки и взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.

Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть , --- инвариантная силовская -подгруппа, --- силовская -подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .

Допустим, что группа непроста и --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда --- неразрешимая группа.

Предположим, что не содержит . Тогда нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как , то из свойств групп Шмидта следует, что содержится в и --- силовская 2-подгруппа в . Если непроста, то --- неразрешимая группа, где --- некоторая инволюция из центра . Так как и --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции , или , --- простое число. Замечая, что и --- абелева группа порядка 4 или , получаем, что, . Теперь должно быть четным числом, значит, . В этих случаях и --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно, --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа изоморфна . Поэтому , значит, и

Порядок факторгруппы равен , и делится на . Так как , то делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.

Следовательно, содержит подгруппу . Так как --- циклическая силовская подгруппа в , то --- простая группа и по индукции , или , где --- простое число. Так как , разрешима, a , то . Теперь изоморфна некоторой подгруппе из . Если или , то или . допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа не допускает требуемой факторизации. Если --- простое число, то и --- простое число. Так как , где , то . Противоречие.

Таким образом, --- простая группа.

Предположим, что силовская 2-подгруппа группы абелева. Тогда по результату Уолтера группа может быть изоморфной только одной из следующих групп: , или , группе Янко порядка 175560 или группе типа Ри. Из групп для указанных лишь группы или , где --- простое число, допускают нужную факторизацию . Группа Янко не допускает требуемой факторизации . Порядок группы делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому неизоморфна .

В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как порядки и взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа из содержится либо в , либо в . Если , то и группа изоморфна для некоторого . Но в этом случае , поэтому , и делит . Так как , то делит . Но порядок делится на , а значит, и на . Противоречие.

Следовательно, . Теперь , , --- инвариантное 2-дополнение в . Если , то и ввиду леммы Бернсайда . Поэтому , --- элементарная абелева -группа и --- показатель числа по модулю . Из результатов Уолеса непосредственно получаем, что . Противоречие.

Значит, . Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа; --- силовская подгруппа из , содержащая ; ; . Так как , то и разрешима. Кроме того, и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3)) не содержит подгрупп инвариантных в . Применяя лемму настоящей работы, получаем, что . Так как и , то и . Таким образом, .

Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем: или . Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Противоречие. Теорема доказана.

Лемма Пусть --- простое число, делящее порядки групп и . Если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, то группа непроста.

Доказательство. Пусть --- силовская -подгруппа из , а --- силовская -подгруппа из , для которых и есть силовская -подгруппа в .

Пусть инвариантна в . Тогда для любого , , имеем: . По лемме Кегеля группа непроста.

Пусть неинварпантна в . Тогда циклическая и каждая собственная подгруппа из инвариантна в . Если --- силовская подгруппа в , то и , где --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа непроста. Пусть не является силовской в . Тогда содержится как подгруппа индекса в некоторой группе , . Для элемента теперь содержит и . Если , то непроста по лемме Бернсайда. Если , то и непроста по лемме С. А. Чунихина.

Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает

Теорема Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.

Ясно, что условие теоремы охватывает случай, когда нильпотентна.

Теорема Пусть --- неразрешимая группа, где --- группа Шмидта, --- нильпотентная группа. Тогда . и --- простое число, или для некоторого простого числа .

Доказательство. Пусть группа --- контрпример минимального порядка. Как и в теореме , пусть . Ясно, что . Группа не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы следует, что порядки и не взаимно просты, а из леммы вытекает, что --- непростая группа.

Допустим, что порядок делится на и пусть --- силовская -подгруппа из . Тогда --- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что . Так как есть -группа, то и по лемме из (4) группа есть -группа, противоречие. Следовательно, порядок не делится на . Но тогда делит порядок . Рассуждая как и в лемме, получаем, что , а из следует, что .

Пусть --- минимальная инвариантная в подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля и разрешима. Если , то, применяя к индукцию, получаем, что или и --- простое число, а группа из заключения теоремы, противоречие. Значит, , кроме того, и , где --- силовская -подгруппа из , --- инвариантное -дополнение в . Проверка показывает, что --- простая группа. Пусть --- силовская -подгруппа из , для которой . Если , то централизатор элемента из содержит подгруппы и , что противоречит простоте . Далее, , поэтому --- подгруппа. Но , значит, .

Пусть --- силовская 2-подгруппа в , тогда --- силовская в . Как и в теореме , можно показать, что неабелева и неизоморфна . Значит, . Пусть , --- дополнение к в . Если , то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит, . Так как , то из результата Уолеса заключаем, что изоморфна одной из следующих групп: , , , , , . Для них группа Шмидта должна иметь соответственно следующие порядки: , , , , , , причем , 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда или и в силовская 3-подгруппа абелева. Так как и в и силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.