3.4 Неравенство Птолемея
Задача 6:
Докажем для косого четырёхугольника ABCD
AC · BD < AB · CD + BC · AD, (3.4)
т. е. произведение длин его диагоналей меньше суммы произведений длин противоположных сторон.
Доказательство:
Воспользуемся известным фактом - следствием из соотношения Бретшнайдера:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Для любых четырёх точек плоскости имеет место неравенство:
AC · BD ? AB · CD + BC · AD,
причём знак равенства имеет место лишь в случаях, когда эти точки лежат либо на окружности, либо на прямой и пара (A,C) разделяет пару (B,D).
Спроектируем ортогонально диагональ BD четырёхугольника на плоскость щ, параллельную BD и содержащую диагональ AC (рисунок 23). Для четырёх точек A, B1, C, D1, лежащих в плоскости щ, имеем:
AC · B1D1 ? AB1 · CD1 + B1C · AD1.
По свойству ортогонального проектирования получаем, что AB1 < AB, CD1 < CD, CB1 < CB, AD1 < AD и B1D < BD. Поэтому неравенство (3.4) следует из предыдущего при замене отрезков большими. Случаи равенства не имеют места.
- Введение
- Глава 1. Основные понятия
- 1.1 Немного истории. Проективные свойства
- 1.2 Двойное отношение
- 1.3 Параллельность и бесконечность
- Глава 2. Основные теоремы
- 2.1 Теорема Дезарга
- 2.2. Теорема Паскаля
- Глава 3. Приложения проективной геометрии
- 3.1 Пространственная интерпретация теоремы Дезарга
- 3.2 Стереометрия помогает планиметрии
- 3.3 Окружность переходит в окружность
- 3.4 Неравенство Птолемея
- Заключение
- Проективная геометрия Вопросы к экзамену
- Блез Паскаль
- Лекция 8. Проективная геометрия
- 3.3. Теорема Дезарга и ее модификации
- § 39. Создание дифференциальной и проективной геометрии
- Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- Вопрос 10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.