3.4 Неравенство Птолемея

Задача 6:

Докажем для косого четырёхугольника ABCD

AC · BD < AB · CD + BC · AD, (3.4)

т. е. произведение длин его диагоналей меньше суммы произведений длин противоположных сторон.

Доказательство:

Воспользуемся известным фактом - следствием из соотношения Бретшнайдера:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для любых четырёх точек плоскости имеет место неравенство:

AC · BD ? AB · CD + BC · AD,

причём знак равенства имеет место лишь в случаях, когда эти точки лежат либо на окружности, либо на прямой и пара (A,C) разделяет пару (B,D).

Спроектируем ортогонально диагональ BD четырёхугольника на плоскость щ, параллельную BD и содержащую диагональ AC (рисунок 23). Для четырёх точек A, B1, C, D1, лежащих в плоскости щ, имеем:

AC · B1D1 ? AB1 · CD1 + B1C · AD1.

По свойству ортогонального проектирования получаем, что AB1 < AB, CD1 < CD, CB1 < CB, AD1 < AD и B1D < BD. Поэтому неравенство (3.4) следует из предыдущего при замене отрезков большими. Случаи равенства не имеют места.