3.3 Окружность переходит в окружность

Задача 4:

Доказать, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.

Доказательство:

Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0;0), N(0;1), E(1;0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности (рисунок 20), обозначим через P середину отрезка EM, а через точки M? и P? - точки пересечения прямых NM и NP соответственно с прямой OE.

Докажем, что для любого числа k > 2 можно выбрать точку M таким образом, что M?E : P?E = k. Пусть A(a;b) - произвольная точка плоскости, A?(t;0) - точка пересечения прямых NA и OE, B(0;b) - проекция точки A на прямую ON. Тогда

Поэтому, если (x;z) - координаты точки M, то точки P, M?, P? имеют соответственно координаты

значит,

Ясно, что уравнение (2 - z)/(1 - z) = k имеет решение z = (k - 2)/(k - 1), причём k > 2, то 0 < z < 1, и, следовательно, точка требуемая.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Докажем теперь основное утверждение задачи. Обозначим данные окружность и точку внутри неё соответственно через S и C. Если точка С является центром окружности S, то требуемым проективным преобразованием является тождественное преобразование. Поэтому будем считать, что C не центр. Обозначим через AB диаметр, содержащий точку C. Пусть для определённости BC > CA. Положим k = BA:AC. Тогда k > 2, и, следовательно, как было доказано, на единичной окружности в плоскости Oxz можно расположить точку M так, что M?E:P?E = k = BA:CA. Поэтому преобразованием подобия окружность S можно перевести в окружность S1, построенную в плоскости Oxy на отрезке EM? как на диаметре, так, чтобы точки A, B, C перешли соответственно в точки E, M?, P?. При стереографической проекции окружность S1 проецируется в окружность S2 на единичной сфере, которая симметрична относительно плоскости Oxz, а значит, и относительно прямой EM. Поэтому EM - диаметр окружности S2, а его середина - точка P - её центр. Пусть б - плоскость, содержащая окружность S2. Ясно, что при центральном проектировании плоскости Oxy на плоскость б из северного полюса единичной сферы окружность S1 перейдёт в S2, а точка P? - в её центр P. [4]

Задача 5:

Доказать, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Доказательство:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть дан четырёхугольник ABCD, в который можно вписать окружность. Точки M, P, N, R - это точки касания вписанной окружности со сторонами четырёхугольника AB, BC, CD, AD соответственно (рисунок 21). Точка O - точка пересечения MN и PR. Тогда нужно доказать, что O также лежит на пересечении диагоналей AC и BD.

Из предыдущей задачи следует, что окружность с произвольной точкой O внутри с помощью проективных преобразований можно перевести в окружность с центром в этой точке. Таким образом, получаем окружность с центром в точке O = O? (рисунок 22).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проектированием переводим AB, BC, CD, AD в A?B?, B?C?, C?D?, A?D? соответственно. По законам проективной геометрии точки M, P, N, R перейдут в точки M?, P?, N?, R? касания четырёхугольника A?B?C?D? с вписанной окружностью, и O? будет лежать на пересечении M?N? и P?R?. Так как O? центр окружности, следовательно, получившийся четырёхугольник симметричен относительно O?, то есть A?B?C?D? ромб.

Тогда диагонали ромба пересекаются в точке O?, то есть A?C? и B?D? содержат эту точку. Следовательно, по закону принадлежности точки прямой при проектировании точка O? (O) будет лежать на AC и BD данного четырёхугольника. А это именно то, что надо было доказать: прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.