Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

3.4.1 Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су-ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини-цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста-новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по-пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша-тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень-шаясь или увеличиваясь.[1]

Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ-ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз-ной для v (t). Поэтому

N(t) - N(t) = .

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

По формуле, подобной N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.[1]

3.4.2.1 Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () -- число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () -- средняя масса особи возраста , а М () -- био-масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо-бей возраста , рассмотрим разность

M( + ?) - M(),

где ?>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо-бей в возрасте от до + ?, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ()? ? M ( + ?) - M () ? N()P()?,

где N () Р () -- наименьшее, а - N()P() -- наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + ?]. Учитывая, что ?>0, из неравенств N () Р ()? ? M ( + ?) - M () ? N()P()?,

имеем:

N () Р () ? ? N()P()

Из непрерывности функции N () Р () (ее непрерывность следует из непрерывности N () и Р () ) следует, что

[N () Р ()] = [N()P()] = N () Р ()

Поэтому будем иметь:

= N () Р ()

или

= N () Р ()

Следовательно, биомасса М () является перво-образной для N () Р (). Отсюда:

M(T) - M(0) = N () Р ()dt

где Т -- максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:

М(Т)= N () Р ()dt

Содержание