Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство с введенным на нем скалярным произведением.

Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство с введенным на нем эрмитовымскалярным произведением.

Скалярное произведение отвечает аксиомам:

1. (х,у)=(у,х)

2. (х₁+х₂,у)=(х₁,у)+(х₂,у)

3. (λх,у)=λ(х,у)

4. (х,х) 0

Эрмитово скалярное произведение то же самое что и скалярное произведение, но в начале стоит f.

Неравенство Каши-Буняковского:

(х₁у₁+х₂у₂+…+х_ny_n)²

|x*y| |x|*|y|

|x+y| |x|+|y|

33. Содержание

    • Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.
    • Изоморфизм алгебраических структур
    • Натуральные числа. Нод. Деление с остатком и алгоритм Евклида.
    • Нок. Решение уравнений в целых числах.
    • Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.
    • Кольца вычетов. Решение сравнений.
    • Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
    • Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
    • Операции над матрицами, их свойства.
    • Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.
    • Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
    • Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.
    • Ортогональное дополнение подпространства.
    • Сопряженное пространство. Двойственных базис.
    • Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.
    • Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
    • Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.