ответы на экзамен алгебра
Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Пусть g1,g2 G, HcG.
Предположим g1 ~ g2,если:
g2-1g1 H, или
g2 g1H, или
существует h H, g1=g2H
Таким образом, множество всех элементов группы G разбивается на классы. Множество элементов, ~ элементу g имеет вид: [g]=gh={gh;h H}
Это множество называется левым смежным классом элемента g по подгруппе H.
Аналогично для правого смежного класса.
Теорема Лагранжа: Пусть G конечное множество, H его подмножество. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество правых и левых смежных классов.
Содержание
- Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.
- Изоморфизм алгебраических структур
- Натуральные числа. Нод. Деление с остатком и алгоритм Евклида.
- Нок. Решение уравнений в целых числах.
- Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.
- Кольца вычетов. Решение сравнений.
- Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
- Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
- Операции над матрицами, их свойства.
- Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.
- Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
- Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.
- Ортогональное дополнение подпространства.
- Сопряженное пространство. Двойственных базис.
- Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.
- Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
- Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.