11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.

Если при нахождении первообразной применили метод замены, т.е. найденная первообразная зависит от новой переменной но необязательно возвращаться к старой переменной, достаточно знать новые пределы интегрирования.

Интегрирование по частям для неопределенных интегралов приобретает следующий вид

в реальных вычислениях первое слагаемое в правой части оказывается не функцией, а числом.

Это из интернета

Теорема. Если   – какая–либо первообразная для непрерывной функции  , то

Доказательство. Пусть  –некоторая первообразная функции  . Но   – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

Это равенство справедливо для любых  . Положим  :   Но  , поэтому  , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим   Переобозначив переменную интегрирования  , получим формулу Ньютона – Лейбница: 

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1.  (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком   оси Ox).

Пример2.