35. Понятие полного дифференциала. Признак полного

дифференциала. Нахождение первообразной для полного дифференциала.

Понятие полного дифференциала.

- дифференциал

P(x,y)dx + Q(x,y)dy – диффернц.выражение

Является ли дифференц.выражение дифференциалом какой-либо функции?

Примеры:

1) 2dx + 3dy дифференциал или нет?

f=2x+3y

=2 ; =3

2) xdx + ydy

=x ; =y

3) ydx - xdy дифференциал!

Признак полного дифференциала.

Если равенство выполняется, то диф. Выражение является дифференциалом какой-то функции, а если не выполняется, то не является дифференциалом никакой функции.

Пример: P=y Q=-x

1 = -1

Полезно понимать происхождение этого признака. Он следует из независимости частной производной от порядка дифференцирования.

↓ Предположим – дифференциал, т.е P= , Q= , тогда = , значит ↑.

В этом случае функцию f называют первообразной для этого дифференциала.

Как искать первообразную. (Считаем что признак выполнен.)

Самое простое – это считать 2 интеграла по икс и по игрик.

f(x,y)=∫ P(x,y)dx f(x,y)=∫ Q(x,y)dy

Остается составить функцию, которая согласуется с обоими полученными равенствами. Тонкость здесь в том, что в первом интеграле пишем (y) а во втором

Пример: (y+2x-1)dx + (x-3y+4)dy

P=y+2x-1

Q=x-3y+4

1 = 1 => f есть! Ищем

f(x,y)=∫ P(x,y)dx=∫(y+2x-1)dx=yx + x - x + (y)

f(x,y)=∫ Q(x,y)dy = ∫(x-3y+4)dy = xy -

f(x,y) = xy + x - x - + C

36. Обобщение производной сложной функции на случай вектор-функций нескольких переменных.

Набор частных производных в векторном пространстве составляет не просто вектор градиента, а целую матрицу.

- матрица *

Имеется обобщение производной сложной функции:

Для вектор-функции:

где правая часть это произведение матриц (смотри пункт *)

37. Точки экстремума и критические точки функции нескольких переменных

и их нахождение.

Точка критическая если производная в ней равна нулю. Если точка критическая, то она подозревается на экстремум.

Признак экстремума – это

Дополнительное рассмотрение изучит только для случая двух переменных.

Пусть (x₀,y₀) – критическая точка. Проверим на экстремум.

Алгоритм:

не экстремум

неопределенность

38. Метод наименьших квадратов. Вывод формул.

Формулы в этом методе выводятся по правилу нахождения т.экстр.

y=kx+b; k-?; b-?; k,b: F(k,b)=

Эта система приводит к линейной системе, которую можно решить по правилу Краммера. Так получают формулы для МНК.

39. Поверхности второго порядка: Названия, канонические уровнения, вид.

1. Параболоид:

-Эллиптический

-Гиперболический

2. Гиперболоид:

-Однополостный

-Двуполостный

3. Эллипсоид