Пример 2.8. Как изменятся основные характеристики случайного процесса, если: 1) его значения умножить на постоянную величину a; 2) к процессу добавить постоянную величину a?
Решение. 1) Математическое ожидание умножится на a; дисперсия увеличится в a2 раз; среднеквадратическое отклонение умножится на a; корреляционная функция увеличится в a2 раз; спектральная плотность умножится на a2; функция плотности в a раз увеличит масштаб по оси абсцисс и в a раз уменьшит масштаб по оси ординат.
2) К математическому ожиданию добавится величина a; график функции плотности сдвигается влево на a единиц, если a < 0, или на a единиц вправо, если a > 0; другие характеристики не изменятся.
Пример 2.9. Какова размерность: 1) функции распределения случайного процесса; 2) плотности распределения; 3) математического ожидания; 4) дисперсии; 5) среднеквадратического отклонения; 6) корреляционной функции; 7) спектральной плотности; 8) нормированной корреляционной функции; 9) нормированной спектральной плотности; 10) взаимной корреляционной функции?
Решение. 1) безразмерная; 2)обратная размерность случайного процесса; 3) размерность случайного процесса; 4) размерность квадрата случайного процесса; 5) размерность случайного процесса; 6) размерность квадрата случайного процесса; 7) размерность квадрата случайного процесса, деленная на размерность частоты; 8) безразмерная; 9) обратная размерность частоты; 10) размерность одного процесса, умноженная на размерность другого.
Пример 2.10. Корреляционная функция процесса определяется выражением , где a > 0. Определить спектральную плотность процесса.
Решение. Воспользуемся следующим соотношением
.
Имеем
Пример 2.11. Нормированная АКФ процесса убывает по линейному закону от единицы до нуля. Определить нормированную спектральную плотность процесса.
Решение. Корреляционная функция выражается формулой
Нормированную спектральную плотность получим из соотношения
.
Первый (абсолютный) максимум спектральной плотности достигается при = 0. Раскрытием неопределенности в этой точке убеждаемся, что он равен 0 /. Изменение 0 равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям при сохранении ее единичной площади.
Пример 2.12. Спектральная плотность изменения температуры воздуха в летний период (температура фиксировалась ежедневно в 12.00 часов) выражается зависимостью .
Определить корреляционную функцию этого процесса.
Решение. Пользуясь преобразованием Фурье, имеем
.
Для вычисления этого интеграла применим теорию вычетов. При > 0 интеграл равняется интегралу, взятому по контуру, составленному из вещественной оси и замкнутой полуокружности бесконечного радиуса, расположенной в верхней полуплоскости.
Поэтому его значение равно вычету относительно единственного полюса = ia, умноженному на 2 a, т.е.
.
Аналогично при < 0, замыкая вещественную ось через нижнюю полуплоскость, получаем .
Следовательно, при любом знаке получим: .
- А.А. Кочетыгов методические указания к практическим занятиям
- «Теория вероятностей и математическая статистика»
- Задачи, предлагаемые для решения на практических занятиях по первому разделу курса «Теория вероятностей»
- Глава 1. Случайные события.
- Контрольные задачи к главе 1 «Случайные события»
- Глава 2. Случайные величины.
- Контрольные задачи к главе 2 «Случайные величины»
- 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения
- Найти функцию распределения f(X).
- Глава 3. Системы случайных величин.
- Контрольные задачи к главе 3 «Системы случайных величин»
- Глава 4. «Функции случайных величин».
- Контрольные задачи к главе 4 «Функции случайных величин»
- Глава 5. «Предельные законы теории вероятностей».
- Глава 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Контрольные задачи к главе 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Пример 2.8. Как изменятся основные характеристики случайного процесса, если: 1) его значения умножить на постоянную величину a; 2) к процессу добавить постоянную величину a?
- Пример 2.13. Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса X(t), если ее спектральная плотность постоянна на интервале и равна с, а вне этого интервала равна нулю: