Глава 4. «Функции случайных величин».
Пример 4.1. Случайная величина X подчинена закону Коши с плотностью распределения , величина Y связана с X зависимостью . Найти плотность распределения величины Y.
Решение. Так как функция монотонная на участке , то
.
Следовательно .
Пример 4.2. Ошибка прибора выражается функцией , где - так называемые первичные ошибки, представляющие собой систему случайных величин, которая характеризуется математическими ожиданиями и корреляционной матрицей
.
Определить математическое ожидание и дисперсию ошибки прибора.
Решение. Так как функция линейна, то
Пример 4.3. Абсцисса точки попадания снаряда выражается формулой , где (ошибка наводки, м), (угловая скорость, рад/сек), (дальность стрельбы, м), (баллистическая ошибка, м) представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями и средними квадратическими отклонениями
Нормированная корреляционная матрица системы имеет вид:
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X.
Решение. Применяем формулы для нелинейной функции. Подставляя в исходную формулу математические ожидания аргументов, имеем математическое ожидание величины X .
Для определения среднего квадратического отклонения величины найдем частные производные:
; .
Пример 4.4. На окружности радиуса случайным образом располагаются две точки, которые затем соединяются между собой и с центром окружности. Найти математическое ожидание площади полученного треугольника.
Решение. Если зафиксировать одну точку, то другая полностью определяется равномерно распределенным случайным углом , образованным радиусами, проведенными к этим точкам из центра круга.
Имеем , .
Тогда математическое ожидание площади треугольника
Пример 4.5. По виду законов распределения двух независимых случайных величин найти математическое ожидание, дисперсию и закон распределения их суммы.
Решение. Имеем f(x) =
.
Используем композицию законов распределения
Пример 4.6. По известным законам распределения X и найти закон распределения их суммы
Решение. По формуле свертки имеем
.
Для нахождения этого интеграла разобьем интервал на 5 частей (рис.4.3).
1. При
2. При
3. При
4. При
5. При .
Рис.4.1. Графическое представление области интегрирования
и результата свертки
Окончательно получаем .
- А.А. Кочетыгов методические указания к практическим занятиям
- «Теория вероятностей и математическая статистика»
- Задачи, предлагаемые для решения на практических занятиях по первому разделу курса «Теория вероятностей»
- Глава 1. Случайные события.
- Контрольные задачи к главе 1 «Случайные события»
- Глава 2. Случайные величины.
- Контрольные задачи к главе 2 «Случайные величины»
- 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения
- Найти функцию распределения f(X).
- Глава 3. Системы случайных величин.
- Контрольные задачи к главе 3 «Системы случайных величин»
- Глава 4. «Функции случайных величин».
- Контрольные задачи к главе 4 «Функции случайных величин»
- Глава 5. «Предельные законы теории вероятностей».
- Глава 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Контрольные задачи к главе 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Пример 2.8. Как изменятся основные характеристики случайного процесса, если: 1) его значения умножить на постоянную величину a; 2) к процессу добавить постоянную величину a?
- Пример 2.13. Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса X(t), если ее спектральная плотность постоянна на интервале и равна с, а вне этого интервала равна нулю: