Глава 6 «Характеристические функции случайных величин»
Пример 6.1. Найти ХФ для распределений: биноминального, Пуассона равномерного, нормального.
Решение.
1) ХФ дискретной величины с возможными значениями и их вероятностями определяются формулой:
.
Тогда для биномиального распределения имеем:
.
2) Для распределения Пуассона
, так как .
3) Для равномерного распределения в интервале
.
В частности, ХФ равномерно распределенной СВ на :
.
4) Для нормальной СВ имеем:
,
так как .
Для n-мерного нормального распределения случайного вектора
.
Так как , то получим .
Пример 6.2. Получить выражение для всех центральных моментов нормальной СВ.
Решение. Для нормальной СВ ХФ имеет вид .
С другой стороны ХФ выражается через центральные моменты по соотношению
.
Приравнивая эти выражения и учитывая, что , , получим:
; ;
; ;
Пример 6.3. Найти ХФ суммы двух независимых распределений Пуассона с параметрами a и b.
Решение. ХФ суммы двух независимых СВ равна произведению соответствующих ХФ. Поэтому получаем:
.
Полученное выражение соответствует форме ХФ пуассоновского распределения с параметрами , то есть сумма двух законов Пуассона дает снова закон Пуассона с соответствующими параметрами.
Пример 6.4. Найти распределение суммы всех независимых СВ и , распределенных равномерно в интервалах и соответственно .
Решение. .
.
Отсюда на основании известной формулы получаем:
.
- А.А. Кочетыгов методические указания к практическим занятиям
- «Теория вероятностей и математическая статистика»
- Задачи, предлагаемые для решения на практических занятиях по первому разделу курса «Теория вероятностей»
- Глава 1. Случайные события.
- Контрольные задачи к главе 1 «Случайные события»
- Глава 2. Случайные величины.
- Контрольные задачи к главе 2 «Случайные величины»
- 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения
- Найти функцию распределения f(X).
- Глава 3. Системы случайных величин.
- Контрольные задачи к главе 3 «Системы случайных величин»
- Глава 4. «Функции случайных величин».
- Контрольные задачи к главе 4 «Функции случайных величин»
- Глава 5. «Предельные законы теории вероятностей».
- Глава 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Контрольные задачи к главе 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Пример 2.8. Как изменятся основные характеристики случайного процесса, если: 1) его значения умножить на постоянную величину a; 2) к процессу добавить постоянную величину a?
- Пример 2.13. Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса X(t), если ее спектральная плотность постоянна на интервале и равна с, а вне этого интервала равна нулю: