Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.

(G,*) называется группой, если:

1. * бинарная операция на множестве G

2. (ab)c=a(bc)

3. Существует е, такое, что ае=еа=а

4. Существует а^-1,такое, что аа^-1= а^-1а=е

5. Группа называется абелевой, если аb=ba.

Конечной группой называется группа, состоящая из конечного числа элементов (порядок).

Т. Кэли – любая конечная группа порядка n, |G|=n изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок S_n.

37. Содержание

    • Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.
    • Изоморфизм алгебраических структур
    • Натуральные числа. Нод. Деление с остатком и алгоритм Евклида.
    • Нок. Решение уравнений в целых числах.
    • Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.
    • Кольца вычетов. Решение сравнений.
    • Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
    • Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
    • Операции над матрицами, их свойства.
    • Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.
    • Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
    • Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.
    • Ортогональное дополнение подпространства.
    • Сопряженное пространство. Двойственных базис.
    • Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.
    • Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
    • Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.