Площадь криволинейного сектора

Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора. Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ: (γ задается в радианах).

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами  , ,…, что  и   при  .

В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора  представится суммой площадей криволинейных секторов  на каждом участке разбиения  . Пусть   и   - наименьшее и наибольшее значение функции   на i-ом отрезке , . На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора   и   с радиусами   и  соответственно.

Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов , и соответственно. Их площади будут равны   и  , причем S(P) ≤ S(G) ≤ S(Q). Так как функция   непрерывна на отрезке [α;β], то на этом отрезке будет также непрерывна функция  . Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству

Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле  .