Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.

Множеством называется совокупность объектов, объединенных по некоторым признакам и рассматриваемое как единое целое.

Операции: пересечение, объединение, разность (дополнение), прямое произведение.

Отношение называется отношением эквивалентности, если выполнены 3 условия:

X~X

X~Y =>Y~X

X~Y ,Y~Z =>X~Z

Фактормножество: Пусть задано некоторое множество Х с отношением ~. Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается X/~

2. Отображения. Произведение отображений. Обратимые отображения.

Отображением А в В называется правило, по которому каждому элементу А ставится в соответствие единственный элемент В.

Даны отображения g: xyи f:yz

Произведением fи gназывают их композицию (fg)(x)=f(g(x)) fg:xz

f: xyназывается обратимым, если существует g:yx, такое, что fg=e_yи gf=e_x. gобратимо к fи обозначается g=f^-1

3. Множество перестановок. Бинарная операция на множестве.

Перестановкой порядка N называют биекцию множества первых n натуральных чисел в себя. Множество всех перестановок порядка nобозначают S_n

Бинарной операцией на А называют отображение f: A²A

A*AA

4. Множество с одной операцией. Полугруппа. Группа. Примеры.

Группоидом называют множество (М;*) на котором определена бинарная операция *

Например (N;+)

Полугруппой называют группоид с ассоциативной операцией

Например: (2+5)+3=2+(5+3)

Группой называют группоид (G;*) такой, что:

1. * ассоциативна (a*b)*c=a*(b*c)

2. на G существует e€G a*c=e*a=a

3. для любых g€G существует g^-1€Gg*g^-1= g^-1*g=e

5. Множество с двумя операциями. Кольцо. Поле. Примеры

Кольцом (К, +, x) называют множество с двумя бинарными операциями, которые обычно назначают с + и *, обладающее следующими свойствами:

1. (К, +) – абелева группа (есть ассоциативность, нулевой элемент, противоположный элемент)

2. (К, x) полугруппа. Т.е. x ассоциативна

3. Операция x дистрибутивна (лево и право) относительно сложения +

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

Полем называют коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый не нулевой элемент обратим:

1. (Р, +, х) поле, если (Р, +) абелева группа

2. (Р \{0}, +) абелева группа

3. х дистрибутивно относительно сложения

6. Содержание

   • Множества и операции над ними. Отношение эквивалентности. Фактор множества.
   • Изоморфизм алгебраических структур
   • Натуральные числа. Нод. Деление с остатком и алгоритм Евклида.
   • Нок. Решение уравнений в целых числах.
   • Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.
   • Кольца вычетов. Решение сравнений.
   • Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
   • Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
   • Операции над матрицами, их свойства.
   • Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.
   • Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
   • Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.
   • Ортогональное дополнение подпространства.
   • Сопряженное пространство. Двойственных базис.
   • Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.
   • Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
   • Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.