1.Натуральні та цілі числа

Натуральні числа

Натуральні числа 1,2,3,… - це числа, що використовуються для рахування предметів або для вказування порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти арабських цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 0 не є натуральним числом.

Для читання натуральних чисел їх розбивають, починаючи справа, на групи по три цифри в кожній. Три перші цифри праворуч складають клас одиниць, три наступні – клас тисяч, потім йдуть класи мільйонів, мільярдів і т.д. Кожна із цифр класу називається його розрядом. Із двох натуральних чисел менше те, яке при підрахунку називають раніше. Наприклад, число 8 менше від 12 (записують так: 8 < 12). Найменше натуральне число – 1. Найбільшого натурального числа не існує. Множину натуральних чисел позначають символом N.

Дії над натуральними числами

Додавання

а + b = b + а (а + b) + с = а + (b + с) а + 0 = 0 + а = а

Віднімання – операція, обернена до додавання. Якщо в + с = а, то

Якщо а = в, то а - b = а – а = 0

(а + b) – с = (а - с) + b а – (b + с) = (а - b) – с а + (b – с) = (а + b) – с а – (b - с) = а – b + с

Множення

а ∙ b = b ∙ а а ∙ b ∙ с = а ∙ (b ∙ с) (а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с (а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с а ∙ 1 = 1 ∙ а = а а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0 0 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1

Ділення – операція, обернена до множення. Якщо b ∙ с = а, то

а : 1 = a a : a = 1, a ≠ 0 0 : a = 0, a ≠ 0

(а ∙ b) : c = (a :c) ∙ b (а ∙ b) : c = (b :c) ∙ a (a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)

Подільність натуральних чисел

Дільником натурального числа а називають натуральне число n, на яке а ділиться націло. Наприклад, дільниками числа 12 є числа 1,2,3,4,6,12. Число 1 є дільником будь-якого натурального числа Кратним натурального числа a називають натуральне число, яке ділиться на a націло. Наприклад, кратними числа 6 є числа 6, 12, 18,…. Числа 0, 2, 4, 6, 8,… називають парними, а числа 1, 3, 5, 7, 9… - непарними.

На 2 діляться числа, остання цифра яких парна. На 3 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 3. На 5 діляться числа, у яких остання цифра 5 або 0. На 9 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 9. На 10 діляться числа, у яких остання цифра 0.

Ділення натурального числа а на натуральне число b (a > b) може бути як націло, так і з остачею q. Наприклад, при діленні числа 26 на число 8 одержуємо 26 = 8 ∙ 3 + 2, де 3 – частка, 2 – остача. Завжди q < b. Натуральне число називається простим якщо воно не має інших дільників, крім одиниці і самого себе. Наприклад, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 – прості. Натуральне число називають складеним, якщо воно має хоча б один дільник, відмінний від одиниці і самого себе. Наприклад, це числа 4, 9, 14, 25. Кожне складене число n можна розкласти на прості множники. Наприклад,

Один із можливих способів розкладу:

Найбільше натуральне число, на яке ділиться без остачі числа a і b називають найбільшим спільним дільником цих чисел: НСД (a, b). Наприклад, НСД (18,15) = 3 Для знаходження НСД декількох натуральних чисел, треба:

1. розкласти їх на прості множники;

2. виявити спільні множники;

3. знайти добуток цих множників;

Наприклад: знайти НСД (160, 240)

НСД (160, 240) = 24∙5 = 16∙5 = 80

Найменшим спільним кратним натуральних чисел a i b називають найменше натуральне число, яке кратне числам a i b: НСК (a, b). Наприклад, НСК (9, 12)= 36 Щоб знайти НСК декількох натуральних чисел, треба:

1. розкласти їх на прості множники;

2. дописати до множників одного із чисел ті множники з розкладу інших чисел, яких немає в першому;

3. знайти добуток одержаних множників.

Наприклад: Знайти НСК (160, 240)

НСК (160, 240) = 25∙5∙3= 480