§14. Индикатриса Дюпена

Пусть вблизи точки гладкая поверхность не является частью плоскости, то есть, исключен случай.

В касательной плоскости в точке поверхности рассмотрим пучок прямых с центром. На каждой из прямых этого пучка от точкипо обе стороны отложим отрезки длиной, где– отличная от нуля нормальная кривизна линий на поверхности, дя которых данная прямая является касательной.

Линия, образованная концами отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности или индикатрисой Дюпена в точке . Задав в касательной плоскости к поверхности в точке аффинную систему координат, получим уравнение индикатрисы Дюпена

,

которое распадается на два уравнения второго порядка.

Соответствующие квадрики обладают центром симметрии в точке (отсутствие первых степеней координат в уравнении указывает на совпадение центра симметрии с началом координат).

Эти квадрики не проходят через начало системы координат, то есть через точку , так как свободный член отличен от нуля.

По этим причинам это не могут быть пара мнимых пересекающихся прямых, пара пересекающихся прямых или пара совпавших прямых, а так же парабола.

Вид индикатрисы зависит от дискриминанта её уравнения. Возможны случаи

1. . Индикатриса распадается на эллипс и мнимый эллипс. Точканазываетсяточкой эллиптического типа. Частным случаем точек эллиптического типа является омбилическая точка, в которой индикатриса Дюпена распадается на две окружности.

В точке эллиптического типа нет асимптотических направлений.

2. . Индикатриса – пара сопряженных гипербол. Точка называетсяточкой гиперболического типа.

В точке гиперболического типа существуют два асимптотических направления.

3. . Индикатриса – линия параболического типа, обладающая центром симметрии; это будет пара параллельных прямых и пара мнимых параллельных прямых. Точка называетсяточкой параболического типа.

В точке параболического типа существует одно асимптотическое направление.