Лекция 4. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии §7. Обзор аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии

В 1899 году вышла знаменитая книга немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии». В этой книге впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Тем самым было доказано, что геометрия – формально дедуктивная система, все предложения которой выводятся чисто логически из некоторого числа основных допущений – аксиом.

База в аксиоматике Гильберта евклидовой плоскости – это символы E и F, обозначающие множества, элементы которых будем называть соответственно точками и прямыми.

Символы обозначаютотношения на множествах базы:

– –отношение «принадлежности». Если , то будем говорить, что точка лежит на прямой , илипроходит через точку, и обозначать.

– –отношение «лежать между». Если , то будем говорить, что точка лежит между точками ии обозначать.

– –отношение «конгруэнтности».

О п р е д е л е н и е. Любая совокупность точек называется фигурой. Множество всех фигур P(E) – множество всех подмножеств множества E. Если , то будем говорить, что фигураконгруэнтна фигуре, и обозначать.

Отметим, что прямую не следует представлять как специальное множество точек. Ее нужно мыслить как самостоятельный единый объект, не разлагающийся на точки.

Точки, прямые, отношения «принадлежности», «лежать между» и «конгруэнтности» – это любые два сорта элементов и любые три отношения, которые удовлетворяют системе аксиом, содержащей 15 утверждений, разбитых на 5 групп:

I группа – аксиомы принадлежности; II группа – аксиомы порядка; III группа – аксиомы конгруэнтности; IV группа – аксиомы непрерывности; V группа – аксиома параллельных.