§11. Длина отрезка как результат процесса измерения

Обычно длину отрезка вводят с помощью процесса измерения. При этом мы будем пользоваться представлением положительного числа в виде двоичной дроби: , где– целое неотрицательное число, аравныили. Например, числоравно.

Пусть зафиксирован некоторый отрезок , который принимается за единицу измерения. Процесс измерения произвольного отрезказаключается в следующем. На отрезкеот одного его конца (пусть от точки A) последовательно откладываются отрезки, конгруэнтные единице измерения. Если единица измерения отложилась на отрезкераз, то говорят, что с точностью додлинаотрезка, взятая с недостатком, равна, а взятая с избытком, равнаи пишут:

. (1)

Знак равенства в левой части соответствует тому случаю, когда единица измерения точно укладывается на отрезке раз. Числов этом случае назовем длиною отрезка. Если этого не случилось, то на получившемся остаткеотрезкаот точки S откладываемчасть единицы измерения. Если этачасть уложилась на остаткераз (равноили), то пишут

. (2)

Затем, если имеется ещё некоторый остаток, можно осуществить измерение отрезка с точностью до:

.

В результате возникают последовательности приближений к длине отрезка по недостатку:

,

и по избытку:

,

где – двоичная дробь.

Первая последовательность неубывающая и ограничена сверху , а вторая – невозрастающая и ограничена снизу. При этом. Таким образом, существуют пределы этих последовательностей при k→∞ и они равны:

.

Общий предел последовательностей приближений по недостатку и по избытку называется длиной отрезка при единице измерения.

Исходя из определения длины отрезка, можно вывести следующие основные свойства длины:

I. Длина любого отрезка есть положительное число.

II. Конгруэнтные отрезки имеют равные длины.

III. Если точка лежит междуи, то.

IV. Длина единицы измерения равна.

Кроме этого можно доказать следующие свойства длин отрезков:

– Если отрезок содержится в отрезке, не совпадая с ним, то.

– При переходе от одной единицы измерения к другой длина отрезка умножается на длину первоначальной единицы измерения относительно вновь выбранной.

– Для всякого положительного числа при выбранной единице измерения можно построить отрезок, длина которого равна.

Замечание. В школьной практике при измерении отрезков пользуются представлением положительного числа в виде десятичной дроби. В соответствии с этим, при описании процесса измерения отрезков используют деление отрезка не на две равные части, а на десять равных частей, что предполагает использование аксиомы параллельных. Таким образом, приведенное описание процесса измерения показывает, что теория измерения отрезков относится к абсолютной геометрии.

Описанное построение теории длины отрезка может быть проведено как в гильбертовой аксиоматической схеме построения геометрии, так и в аксиоматической схеме Вейля. Однако в вейлевской схеме имеется и другой, более простой путь введения понятия длины.