33. . Закон великих чисел, центральна гранична теорема.
Нерівності Чебишова.
Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то
Друга форма: якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то
Нехай задано послідовність випадкових величин:
Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо
Окремі форми закону великих чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність (1).
Теорема Хінчина. Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, однаково розподілені і мають скінченне математичне сподівання то
Теорема Чебишова. Якщо випадкові величини у послідовності (1) незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел.
Теорема Маркова. Нехай випадкові величини в послідовності (1) мають скінченні і як завгодно залежні математичні сподівання. Тоді, якщо при то для послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел.
Теорема Бернуллі. Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р. Тоді
де — частота події А у даних випробуваннях.
Центральна гранична теорема.
Для послідовності випадкових величин 1) розглянемо:
Теорема 1. Якщо випадкові величини в послідовності (1) незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то
(2)
тобто граничним розподілом для є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють послідовність (1), існують моменти третього порядку і виконується умова
то для виконується співвідношен- ня (2).
Наслідком розглянутих теорем є інтегральна теорема Лапласа.
У схемі незалежних повторних випробувань
де Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.
Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:
де m — частота події А у n випробуваннях.
34)Нерівності Чебишова та її значення . Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то
Зауваження : існує друга форм, якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то
Нехай задано послідовність випадкових величин:
(1)
Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо
Окремі форми закону великих чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність(1).
- 2.Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події ,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.
- 7 Означення повторних незалежних випробувань.
- 8 Формула Бернуллі для обчислення ймовірності і наймовірнішого числа.
- 9 Локальна та інтегральна теореми Мавра-Лапласа.
- 10Формула Пуассона малоймовірних випадкових подій.
- 11 Означення випадкової величини.
- 23. Означення дискретної випадкової величини
- 24. Біноміальний закон розподілу
- 25. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу:
- 26. Рівномірний закон розподілу
- 28. Логарифмічний нормальний закон розподілу
- 33. . Закон великих чисел, центральна гранична теорема.
- 35) Теорема Чебишова
- 36) Теорема Бернулі
- 40)Формула Пуассона для найпростішого потоку
- 43) Процеси відновлення
- 45) Дискретний статистичний розподіл вибірки
- 47) Числові характеристики:
- 61) Загальна дисперсія ,міжгрупова та внутрішнлогрупова дисперсія
- 64) Функціональна ,статистична і кореляційна залежності.
- 66) Вибірковий коефіцієнт кореляції
- 67) Довірчий інтервал для лінії регресії
- 68) Множина регресії ,множинний коєфіцієнт кореляції та його властивості .
- 69) Нелінійна регресія.