§13. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности

Пусть на гладкой поверхности классазадана гладкая линия. При смещении точкипо этой линии имеем. Отсюда находим

.

Пусть – единичный вектор нормали к поверхности в точке, тогда

.

Обозначив , получаемвторую квадратичную форму поверхности:

.

Можно получить другое выражение второй квадратичной формы и её коэффициентов. Дифференцирование тождества дает. Отсюда

Вектор кривизны гладкой кривой в точкена поверхности можно разложить на две составляющие:

а) вектор нормальной кривизны, параллельный нормали к поверхности в точке ;

б) вектор геодезической кривизны,принадлежащий касательному векторному пространству в точке.

Вектор ортогонален к вектору касательной к линии, так как векторыи ортогональны . Следовательно, вектор коллинеарен вектору . Имеем

.

Числа иназываются соответственнонормальной и геодезической кривизной линии на поверхности в точке .

Таким образом, нормальная кривизна линии на поверхности в точке– это проекция вектора кривизнылинии на единичный векторнормали к поверхности.

Если линия на поверхности задана в естественной параметризации , то имеем

.

Тогда .

Заменив первой квадратичной формой, получаем

.

Видим, что нормальная кривизна линии на поверхности в точке зависит от точки (ибо функциикриволинейных координат принимают в точке определенные значения) и от направлениякасательной к кривой в точке (ибо числитель и знаменатель – однородные функции отипорядка 2). Таким образом, все кривые, проходящие через данную точку и имеющие один и тот же касательный вектор, имеют одну и ту же нормальную кривизну в этой точке. То есть нормальная кривизнаесть характеристика поверхности в данной точке в данном направлении, поэтому её называютнормальной кривизной поверхности в точке в данном направлении.

Для сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке (нормального сечения) либо , либо. В первом случае, во втором. Таким образом, абсолютная величина нормальной кривизны равна кривизне нормального сечения.

Направление на поверхности в точке называетсяасимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю. Таким образом, асимптотическое направление на поверхности в точке определяется уравнением .

Выясняя число асимптотических направлений в точке на поверхности, получим, что

а) при любое направление в точке на поверхности является асимптотическим;

б) при в тчке на поверхности нет асимптотических направлений;

в) при в тчке на поверхности существуют два асимптотических направления;

г) при в тчке на поверхности существует одно асимптотическое направление.

Имеет место

Т е о р е м а. Для того, чтобы любое направление в точке гладкой поверхности было асимптотическим, необходимо и достаточно, чтобы поверхность в окрестности точки являлась частью плоскости.

Линия на поверхности называется асимптотической, если в каждой её точке касательный вектор имеет асимптотическое направление.

Т е о р е м а. (характеристическое свойство асимптотических линий). Для того, чтобы линия на поверхности была асимптотической, необходимо и достаточно, чтобы она была промежутком прямой или, чтобы в каждой её точке соприкасающаяся плоскость совпадала с касательной плоскостью поверхности.