3. Геометрия

1. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.. Определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов. Базис и координаты вектора в нем. Признаки линейной независимости векторов на плоскости и в пространстве. Теорема о единственности разложения вектора по базису. /1/, гл. 1, §§ 1-3, /2/ раздел 1, гл. 1.

2. Скалярное произведение векторов. Определение и свойства скалярного произведения. Вычисление его в координатах. Вычисление длин и углов с помощью скалярного произведения. /1/, гл. 1, §§ 3,4, /2/ раздел 1, гл. 1, §§ 8,9.

3. Векторное произведение векторов. Определение и свойства векторного произведения. Вычисление его в координатах. Вычисление площади параллелограмма с помощью векторного произведения. /1/, гл. 1, § 4, /2/ раздел 2, гл. 1, § 5.

4. Смешанное произведение векторов. Определение и свойства смешанного произведения. Вычисление его в координатах. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра с помощью смешанного произведения. Признак компланарности трех векторов. /1/, гл. 1, §4, /2/, раздел 2, гл. 1, §5.

5. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей. Различные виды уравнений плоскости. Вектор нормали плоскости, заданной в прямоугольной системе координат. Угол между двумя плоскостями. /2/ раздел 2, гл. 2, § 7-10, /5/ гл. 6.

6. Прямая в пространстве, Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых (пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые). Угол между прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. /2/ раздел 2, гл. 2, §11-13, /5/ гл. 6.

7. Эллипс, гипербола, парабола. Определения эллипса, гиперболы, параболы. Вывести каноническое уравнение одной из этих линий. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Оптические свойства этих кривых. /2/ раздел 2, гл. 2, §7-10, /5/ гл. 6.

8. Движение плоскости. Классификация движений.Определение и аналитическая запись движения плоскости. Связь движения с изометрией. Классификация движений. /1/ гл. 3, /2/ раздел 1, гл.3.

9. Проективная плоскость. Принцип двойственности.Расширенная аффинная плоскость. Основные свойства принадлежности точек и прямых на расширенной плоскости. Проективная плоскость. Система координат в ней. Уравнение проективной прямой. Принцип двойственности. /4/ гл. 1,2,3, /3/ гл. 1.

10. Теорема Дезарга и ей двойственная теорема. Применение к решению некоторых задач планиметрии. /4/ гл.1,2,3, /3/ гл. 1.

11. Гармонические четверки точек и их связь с полными четырехвершинниками. Определение гармонической четверки точек. Определение полного четырехвершинника. Теорема о гармонических свойствах полного четырехвершинника. /4/ гл.1,2,3, /3/ гл. 1.

12. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Правильные многогранники. Доказать теорему Эйлера: В-Р+Г=2. Доказать существование 5 различных правильных многогранников. /5/ гл. 20, §§ 7-9.

13. Аксиоматика Вейля. Непротиворечивость аксиоматики Вейля. Аксиомы Вейля. Непротиворечивость системы аксиом Вейля./3/, раздел 4, гл. 2.

14. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.Параллельное проектирование, его свойства. Определение изображения фигуры. Теорема об изображении треугольника. Примеры построения изображения плоских фигур. Построение эллипса по изображению сопряженных диаметров. /3/ раздел 3, гл. 4, §§ 27-29.

15. Геометрия Лобачевского. Аксиомы планиметрии Лобачевского. Параллельные прямые в геометрии Лобачевского. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Основные факты геометрии Лобачевского. /3/ раздел 4, гл. 3, /6/ гл. 2, §§ 1-5, гл. 5, §§1-6.