logo
Программа ИГА 050200

1. Математический анализ, теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

1. Мощность множества. Счетные множества. Несчетность множества действительных чисел. Рассказать о способах сравнения конечных и бесконечных множеств. Раскрыть понятия эквивалентности множеств и сравнения множеств по мощности. Дать определение счетного множества. Привести примеры счетных множеств. Доказать, что множество действительных чисел несчетно. /1/гл.1,§ 2,пп.1,2,3,4,5,/2/ гл.1, §§ 2,3,4,5.

2. Отображения множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Раскрыть понятие отображения и понятие действительной функции действительной переменной. Привести примеры. Сформулировать различные определения предела функции в точке и непрерывности в точке. Доказать, что данное число является пределом функции в заданной точке (пример подобрать самостоятельно). Доказать эквивалентность определения предела по Коши и по Гейне. /3/ пп.17,19,23,25,32,33,60,/4/ гл. 4, §§1,4, /6/ §3, /10 / № 4, 49, 190, 191, 270, 272, 281, 282, 296, 309, 321, 223, 226, 221.

3. Основные свойства непрерывных функций на отрезке. Дать определение функции, непрерывной на отрезке. Сформулировать теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке: теорему об обращении функции в нуль, теорему о промежуточном значении, теорему о достижении наибольшего и наименьшего значений, теорему о существовании обратной функции. Указать, где используются эти свойства в школьном курсе математики. Раскрыть геометрический смысл каждой из этих теорем. Доказать одну из них. /3/ пп.68,79,71-75,/4/ гл 4, §§ 5,6,/5/ том 1, §§ 51,52,53,/6/ п.14, /10/ № 240.

4. Предел числовой последовательности. Существование точной верхней границы ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной последовательности.Дать определение предела числовой последовательности и раскрыть геометрический смысл этого понятия. Привести примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Сформулировать теорему о единственности предела. Дать определение ограниченного множества и сформулировать предложение о существовании точной верхней границы. Сформулировать и доказать теорему о пределе монотонной последовательности. Ввести числое./3/ пп.6,27,28,36,44 /4/ гл. 3, §§1,6 /5/том 1, §§10,25-27,35 /6/ §2 /10/ №№ 178,184,246,252.

5. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признак сходимости последовательности.Сформулировать теорему об ограниченности сходящейся последовательности. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение не имеет места. Сформулировать и доказать теорему Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях. Сформулировать необходимый и достаточный признак сходимости последовательности (критерий Коши). /3/ пп. 51,52 /4/ гл.3, §9, гл.20, §6 /5/ том 1, §35.

6. Степенная функция с натуральным, целым, рациональным и действительным показателем. Дать определения степени с натуральным, целым, рациональным и действительным показателем. Ввести понятие степенной функции, сформулировать ее основные свойства (непрерывность, монотонность, существование экстремумов, выпуклость, наличие асимптот и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Некоторые из этих свойств доказать (можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). /3/ пп. 22 /4/ гл.4, §§ 6,8,9 гл.24 §7. /5/ том 1, §§22,57 /7/ §10 пп. 28-30, /6/ §17, п.68.

7. Показательная функция. Ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Определить показательную функцию. Сформулировать основные свойства (непрерывность, монотонность, отсутствие экстремумов, выпуклость, наличие асимптот, область значений и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Некоторые из этих свойств доказать (можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). Разложить функцию в степенной ряд. /3/ пп. 22,108,253, /4/ гл.2, §6, гл.4 §9, гл.22 §3 /5/ том 1, §§22,55 /7/ §10, пп.27,28, §§11,12, /6/ §15,63, §10, п.65 /10/ №129.

  1. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Дать определение логарифмической функции действительного аргумента, как функции, обратной показательной. Сформулировать основные свойства этой функции (монотонность, отсутствие экстремумов, выпуклость, наличие асимптот, область значений и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Доказать некоторые из этих свойств (при этом можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). Разложить логарифмическую функцию в степенной ряд. /3/ пп.22, 108, 256, /4/ гл.2, §6, гл.4, §9, гл.22, §4, гл.24, §§6,8, /5/ том 1, §§22,56, /7/ §13, /6/ §15, п.64, §16, п.67, /8/ гл.4 §5, гл.5, § /9/ гл.6, §2, /10/ №138.

  2. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд. Дать определение тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса. Сформулировать основные свойства этих функций (периодичность, непрерывность, монотонность, наличие асимптот, область значений и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Доказать некоторые из этих свойств (при этом можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). Разложить синус и косинус в степенной ряд. /3/ пп. 22,108,253, /4/ гл.2 §§3,6, гл. 24 §§2,4, /5/ том 1 §§22,58, /6/ §§7,8,10,11.

  3. Дифференцируемые функции одной и нескольких переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Дать понятие дифференцируемой функции одной переменной и ее производной. Установить механический и геометрический смысл производной. Дать определение дифференцируемости функции нескольких переменных и частной производной. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложной функции и обратной функции одной переменной. Доказать хотя бы одно из этих свойств. /3/ пп.78,79,80,82,83,84,142, /4/ гл. 5 §§1,2,3,5, гл.15 §5, /5/ том 1 §§61-64,66-68, /6/ §§4,5 /10/ №№441,455,667-680,907.

  4. Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Выпуклые кривые. Сформулировать и доказать теорему Лагранжа. Раскрыть ее геометрический смысл. Так как доказательство теоремы Лагранжа опирается на теорему Ролля, то обязательно знать содержание этой теоремы. Сформулировать теорему о необходимом и достаточном условии постоянства функции и теорему о достаточном условии строгой монотонности функции на промежутке. Показать, что условие это не является необходимым. Дать понятие кривой, выпуклой на промежутке. Сформулировать теорему об условии выпуклости кривой. /3/ пп. 102,110,11,214, /4/ гл. 6 §1, гл.7 §§1,4, /5/ том 1 §§75,79,82 /6/ §6 п.25, /10/ №№1131,1144,1152.

  5. Экстремумы и точки перегиба.Дать определения максимума и минимума функции одной переменной, а также точек минимума и максимума. Раскрыть геометрический смысл этих понятий. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии экстремума. Показать, что это условие не является достаточным. Сформулировать достаточное условие экстремума: по характеру изменения знака первой производной и по знаку второй производной. Один из этих признаков доказать. Привести пример на отыскание экстремума. Ввести понятие точки перегиба кривой. Сформулировать правило отыскание точек перегиба. /3/ пп.112.,113,114,118, 214, /4/ гл.7 §§2,4, /5/ том 1, §§81,82, /6/ пп.26-28, /10/ №№1166,1186,1208.

  6. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование по частям и подстановкой.Ввести понятие первообразной функции. Привести примеры. Знать, что всякая непрерывная в данном промежутке функция имеет первообразную. Описать множество всех первообразных данной функции. Доказать, что если функция имеет первообразную, то это множество состоит из тех и только тех функций, которые отличаются от данной первообразной на постоянное слагаемое. Ввести понятие неопределенного интеграла. Раскрыть связь между операциями интегрирования и дифференцирования. Сформулировать простейшие правила интегрирования. Привести примеры интегрирования по частям. /3/ пп.155, 156, 157, 158, 160, 162, /4/ гл.8 §§ 1-5, /5/ том 1, §§ 85-89, /6/ §13, /10/ №№1676 -1700, 1720, 1723, 1726, 1832, 1837, 1870-1877.

  7. Определенный интеграл и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции.Дать определение определенного интеграла через интегральные суммы и через приращение первообразной. Какой из этих подходов предпочтительней в средней школе? Установить их геометрический смысл. Сформулировать необходимое условие существования определенного интеграла и его основные свойства. Ввести понятие сумм Дарбу и перечислить их основные свойства. Сформулировать необходимое и достаточное условия интегрируемости функции (с использованием сумм Дарбу). Знать определение равномерной непрерывности и формулировку теоремы Кантора. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем. /3/ пп.175-179, 74, 75, 184, 189, /4/ гл.9 §§1-3, /5/ том 1, §§93,95, 96, 98, 105,/6/ № 14.

  8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.Рассмотреть определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Доказать, что если подынтегральная функция непрерывна, то производная по верхнему пределу равна подынтегральной функции. Вывести формулу Ньютона-Лейбница. Показать на примере применение этой формулы. /3/ пп.183, 185, /4/ гл.9 §§5,7, /5/ том 1, §§100, 101, /6/ §14, п.60, /10/ №№ 2231,2234.

  9. Геометрические приложения определенного интеграла.Ввести понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой дуги кривой. Обосновать вычисление площади квадрируемой фигуры и объема тела вращения с помощью определенного интеграла. Привести примеры. /3/ пп.193-198, 205, /4/ гл.10 §§ 1,4,5, /5/ том 1, §§109, 112, 113 /6/ §14, пп.59-60, /10/ №№ 2455, 2460, 2555, 2559, 2594, 2595. Вывести формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовых координатах. /3/ пп.199, 201, /4/ гл.10 §§2,3, /5/ том 1, §110, /10/ том 2, §§ 1, 4, 7, №№2771-2780.

  10. Числовые ряды. Признаки сходимости положительных рядов.Ввести понятие числового ряда и его суммы. Сформулировать необходимое условие сходимости числового ряда, а также признак сравнения положительных рядов. Доказать признак сходимости Даламбера. Сформулировать интегральный признак сходимости. /3/ пп. 234-237, 239, 241, /4/ гл.20 §§1-5, /5/ том 2, §§1, 4, 7, /10/ №№2771-2780.

  11. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.Ввести понятие знакочередующегося ряда. Доказать теорему Лейбница. Ввести понятия абсолютно и условно сходящихся рядов. Привести примеры. Сформулировать свойства абсолютно сходящихся рядов (сочетательное, переместительное). Сформулировать теорему Римана для условно сходящихся рядов. /3/ пп. 242-247, /10/ №№ 2790-2793.

  1. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.Ввести понятие формулы Тейлора и ее остаточного члена. Раскрыть смысл разложения функции в степенной ряд. Сформулировать необходимое и достаточное условия разложимости функции в степенной ряд (ряд Тейлора). Вывести ряд Тейлора для функции (x+a)α­и найти радиус его сходимости. Формула бинома Ньютона. /3/ пп.105, 106, 252, 258, /4/ гл.6 §3, гл. 22, §§1, 5, /5/ том 2, §§ 16, 18-21.

  2. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества.Ввести понятие метрического пространства. Привести примеры метрических пространств. Среди примеров обязательно рассмотреть пространство непрерывных на отрезке действительных функций. Ввести понятия замкнутого и открытого множества метрического пространства. Привести примеры. Сформулировать свойства. Доказать, что множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение до всего метрического пространства замкнуто. /1/ гл. 2 §§ 1,2, /2/ гл.3 §§ 1,3.

  3. Полные метрические пространства.Ввести понятия сходящихся и фундаментальных последовательностей в произвольном метрическом пространстве. Раскрыть существующую между этими понятиями связь. Дать определение полного метрического пространства. Привести примеры полных метрических пространств. Доказать полноту пространстваC[a,b]. /1/ гл. 2 § 3, /2/ гл. 3 §§ 1,2.

  4. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.Ввести понятия дифференциального уравнения первого порядка, его решения, общего решения и частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Дать этим понятиям геометрическое истолкование. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Записать общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и рассказать об общем методе его решения. Привести пример. Ввести понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка и рассказать о методах его решения. Привести пример. /4/ гл.25, §§ 1-3, 5,7, /5/ том 2, §§ 81,84,85,87, /6/ § 16, п. 66, /10/ №№3913-3916, 3965-3967.

  5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Ввести понятия линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и его характеристического уравнения. Рассмотреть различные случаи решения дифференциального уравнения в зависимости от особенностей корней характеристического уравнения. Привести примеры. /4/ гл. 27 §4, /5/ том 2, §99, /6/ §11, п. 50 /10/ №№4255,4256, 4259, 4262.

  6. Теорема Банаха о сжимающем отображении и ее приложения. Дать определение сжимающего отображения. Сформулировать и доказать теорему Банаха. Объяснить ее применение при решении уравнений.