Линейные ду n-го порядка

О: ОДУ n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y+a_n(x)y=b(x),

где a_i(x), i=0,n, b(x) непрерывны на некотором интервале (,). Если b(x)0, то называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным уравнением

Общее решение ЛОДУ n-го порядка имеет вид

y=c₁y₁+ c₂y₂+...+ c_ny_n,

где c_i, - произвольные постоянные, а y₁(х),y₂(х),...y_n(х) образуют фундаментальную систему решений.

Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_n-1y+a_ny=0

где a_i – действительные постоянные.

Уравнение:

λⁿ+a₁λ^n-1+...+a_n-1λ+a_n=0

полученное заменой производных y⁽ⁱ⁾ искомой функции степенями λⁱ называется характеристическим уравнением.

Каждому действительному корню λ кратности r соответствуют r линейно независимых решений исходного уравнения.

, ,…,

Каждой паре комплексных корней кратностиs соответствуют s пар линейно независимых решений.

, ,…,

, ,…,

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами является линейной комбинацией всех линейно независимых решений.

Общий вид линейного не однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_n-1y+a_ny= f(x)

где a_i – действительные постоянные.

Его решение может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами может быть найдено подбором исходя из вида правой части.

Отметим, что мы рассмотрели лишь простейшие методы решения ОДУ.

В тех случаях, когда необходимо решать нелинейные ОДУ, как правило, используют приближенные численные методы, такие как методы Эйлера, Адамса, Рунге-Кутта и т.п.