Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что если х₁ - точка сходимости ряда, то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала (-|x₁|,|x₁|). Еслих₁ - точка расходимости, то ряд расходится во всех точках интервалов

(-, |х₁ |), (|х₁ |,). Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R,R) ряд сходится абсолютно, а на (-,-R), (R, +) расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Т: Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R, R). В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах

(-,-R), (R, +) расходится.

Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости ряда, а R - его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в т.(R=0), для других - охватывает всю ось ОХ (R=). При х=R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).

Укажем способ определения радиуса сходимости ряда. Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов и применим к нему

признак Даламбера: . Если<1, т.е. |x|<, то ряд из абсолютных величин членов сходится, и исходный ряд сходится абсолютно. Обозначим

.

При |x|>R степенной ряд расходится, так как общий член ряда a_nxⁿ не стремится к 0. Таким образом, мы получили формулу позволяющую определять радиус сходимости степенного ряда.