Комплексные числа и действия над ними

Вводится новое “понятие” мнимой единицы (). С введением этого “числа” появляется целый класс чисел , . Число называется комплексным числом. , - вещественная и мнимая его части.

Над комплексными числами можно производить следующие операции:

1. Сложение и вычитание:

2. Умножение:

3. Деление:

Число называется комплексно-сопряженным к числуz:

если ,то .

Если вещественные числа можно отображать на прямой, то для комплексных чисел необходима плоскость.

Комплексное число (это видно из его изображения на плоскости) можно задавать не только в декартовой (через и ), но и в полярной (через и ) системе координат:

- модуль комплексного числа ,

- аргумент комплексного числа .

Значение выбирается таким образом, чтобы угол был в той четверти, где находится наше комплексное число.

Выбранное значение угла будем подчеркивать.

y

r

x

Комплексное число представимо в одной из трех форм записи:

- алгебраическая форма записи,

- тригонометрическая форма записи,

- показательная форма записи.

Пользоваться тригонометрической и показательной формой удобно в тех случаях, когда нам необходимо разделить или умножить между собой два комплексных числа.

В тригонометрической форме:

если и, то

В показательной форме: и, то

При работе с комплексными числами часто используются формулы:

Формулы Эйлера: ;  .

Формула Муавра: 

Корень из комплексного числа функция многозначная, т. е. одному значению соответствуетnзначений функции:

k изменяется от нуля доn-1.

Область - это окружность с центром в точке и радиусомR.