Скільки існує простих чисел?

Простих чисел нескінченно багато. Найдавніший відомий доказ цього факту було дано Евклідом в «Началах» (книга IX, твердження 20). Його доказ може бути коротко відтворено так:

Уявімо, що кількість простих чисел скінченна. Перемножимо їх і додамо одиницю. Отримане число не ділиться ні на одне зі скінченного набору простих чисел, тому що залишок від ділення на будь-яке з них дає одиницю. Значить, добуток має ділитись на деяке просте число, не включене до цього набору.

Математики пропонували інші докази. Одне з них (наведене Ейлером) показує, що сума всіх чисел, зворотніх до простих, розбігаєься.

Відома теорема про розподіл простих чисел стверджує, що кількість простих чисел менших за n, яке позначають як , росте як .