Глава 3. Системы случайных величин.
Пример 3.1. Система двух случайных величин подчинена закону распределения с плотностью: . Найти функцию распределения . Определить вероятность попадания случайной точки в квадрат с координатами: (1, 1), (0, 1), (1, 0), (0, 0).
Решение.
.
Тогда вероятность попадания в прямоугольник :
.
Пример 3.2. Плотность распределения системы имеет вид:
. Определить, зависимы или независимы величины и .
Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем:
.
Из того, что функция распалась на произведение двух функций, из которых одна зависит только от , другая - только от , заключаем, что величины и должны быть независимы.
Действительно,
.
Аналогично, .
Отсюда убеждаемся, что , и, следовательно, величины и независимы.
Пример 3.3. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью
Требуется: определить параметр a; вычислить вероятность попадания точки в квадрант, ограниченный прямыми ; найти
Решение. Найдем параметр a из уравнения .
Отсюда:
.
Искомая вероятность
.
По соответствующим формулам вычисляем другие числовые характеристики:
; ;
.
Пример 3.4.
События А и В имеют одинаковую вероятность p.
Какова должна быть условная вероятность Р(А|В), чтобы коэффициент корреляции между А и В был равен числу r.
Решение.
Пусть Х = 1 или 0 в зависимости от того, произошло событие А или нет.
Пусть Y = 1 или 0 в зависимости от того, произошло событие B или нет. Обозначим P(A|B) = P(B|A) = p1.
Тогда P(AB) = pp1, P( B) = p1(1 - p1), P(A ) = p(1-p1), P( ) = 1 - 2p + pp1, т.е. совместное распределение (Х,Y) задается таблицей:
-
Y
X
1
0
1
pp1
p(1 - p1)
0
p(1 - p1)
1 - 2p + pp1
Следовательно, M[X] = M[Y] = p, D[X] = D[Y] = p(1-p), M[XY] = pp1, Rxy = p(p1 - p), rxy = = r, т.е. p1 = P(A|B) = p + r(1 - p).
Пример 3.5. В продукции завода брак вследствие дефекта инструмента составляет , а вследствие дефекта сырья (материала) - . Годная продукция составляет . Найти коэффициент корреляции дефектов инструмента и сырья.
Решение. Пусть - случайная величина, принимающая значение 1, если данное изделие обладает браком вследствие дефекта инструмента, и - в противном случае.
Аналогично, , если данное изделие обладает браком вследствие дефекта сырья, и , если дефекта сырья не проявился.
По условию .
Так как
то .
Аналогично находим
.
Совместное распределение величин задается таблицей:
-
1
0
1
0,025
0,005
0
0,020
0,950
Тогда
То есть, коэффициент корреляции дефектов инструмента и сырья равен 0,67.
- А.А. Кочетыгов методические указания к практическим занятиям
- «Теория вероятностей и математическая статистика»
- Задачи, предлагаемые для решения на практических занятиях по первому разделу курса «Теория вероятностей»
- Глава 1. Случайные события.
- Контрольные задачи к главе 1 «Случайные события»
- Глава 2. Случайные величины.
- Контрольные задачи к главе 2 «Случайные величины»
- 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения
- Найти функцию распределения f(X).
- Глава 3. Системы случайных величин.
- Контрольные задачи к главе 3 «Системы случайных величин»
- Глава 4. «Функции случайных величин».
- Контрольные задачи к главе 4 «Функции случайных величин»
- Глава 5. «Предельные законы теории вероятностей».
- Глава 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Контрольные задачи к главе 6 «Характеристические функции случайных величин»
- Пример 2.8. Как изменятся основные характеристики случайного процесса, если: 1) его значения умножить на постоянную величину a; 2) к процессу добавить постоянную величину a?
- Пример 2.13. Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса X(t), если ее спектральная плотность постоянна на интервале и равна с, а вне этого интервала равна нулю: