Двойное векторное произведение
Двойное векторное произведение есть тернарная операция, результатом применения которой к трем векторам является снова вектор. Эта операция часто встречается в механике. Выражение называется двойным векторным произведением векторов .
Двойное векторное произведение выражается через скалярное произведение. Имеет место следующее
Предложение (тождество “бац минус цаб”).
.
Инвариантные, т.е. не связанные с выбором базиса, доказательства этого тождества требуют несколько виртуозных геометрических построений в пространстве. В правом ортонормированном базисе доказательство представляет собой простую проверку и предлагается в качестве упражнения ниже.
Оказывается, векторное произведение не ассоциативно, т.е. существуют векторы такие, что. В то же время векторное произведение удовлетворяет важнейшемутождеству Ли-Якоби:
.
Его легко доказать (докажите!), опираясь на предыдущее предложение. С помощью тождества "бац минус цаб" легко вычисляется также скалярное произведение
двух векторных произведений. Делая в тождестве
замену , получим
.
Применим здесь к тождество "бац минус цаб":
,
т.е.
. (2.17)
Применив тождество "бац минус цаб" к векторному произведению двух векторных произведений, получим
.
Выведем полезное тождество
. (2.18)
Из тождества "бац минус цаб" следует
,(2.19)
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим последовательное векторное произведение
.
Распишем по тождеству "бац минус цаб". Отсюда
. (2.20)
В приложениях бывает необходимо разложить вектор a по единичному вектору и ему перпендикулярному .
Тождество "бац минус цаб" дает
.
Отсюда
. (2.21)
- 1.2. Лекция 2. Скалярное, векторное и смешанное
- Скалярное произведение
- Геометрические свойства скалярного произведения
- Алгебраические свойства скалярного произведения
- Векторное произведение
- Смешанное произведение
- Двойное векторное произведение
- Решение векторных уравнений
- Законы физики и векторный язык