Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение есть тернарная операция, результатом применения которой к трем векторам является снова вектор. Эта операция часто встречается в механике. Выражение называется двойным векторным произведением векторов .

Двойное векторное произведение выражается через скалярное произведение. Имеет место следующее

Предложение (тождество “бац минус цаб”).

.

Инвариантные, т.е. не связанные с выбором базиса, доказательства этого тождества требуют несколько виртуозных геометрических построений в пространстве. В правом ортонормированном базисе доказательство представляет собой простую проверку и предлагается в качестве упражнения ниже.

Оказывается, векторное произведение не ассоциативно, т.е. существуют векторы такие, что. В то же время векторное произведение удовлетворяет важнейшемутождеству Ли-Якоби:

.

Его легко доказать (докажите!), опираясь на предыдущее предложение. С помощью тождества "бац минус цаб" легко вычисляется также скалярное произведение

двух векторных произведений. Делая в тождестве

замену , получим

.

Применим здесь к тождество "бац минус цаб":

,

т.е.

. (2.17)

Применив тождество "бац минус цаб" к векторному произведению двух векторных произведений, получим

.

Выведем полезное тождество

. (2.18)

Из тождества "бац минус цаб" следует

,(2.19)

что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим последовательное векторное произведение

.

Распишем по тождеству "бац минус цаб". Отсюда

. (2.20)

В приложениях бывает необходимо разложить вектор a по единичному вектору и ему перпендикулярному .

Тождество "бац минус цаб" дает

.

Отсюда

. (2.21)