Смешанное произведение

Смешанное произведение есть тернарная, т.е. трехместная, операция, в отличие, например, от двухместной операции скалярного произведения. Смешанное произведение (и это оправдывает название) определяется через векторное и скалярное произведения.

Смешанным произведением трех векторов называется число

.

Смешанное произведение имеет четкий геометрический смысл. Ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на упорядоченной тройке векторов , приведенных к общему началу, называется число, обозначаемое и равное объему этого параллелепипеда, взятому со знаком "плюс", если эта тройка правая, и со знаком "минус" – в противном случае.

Лемма. .

Доказательство. Объем параллелепипеда (рис.6) равен произведению площади его основания на высоту.

Поэтому

. 

Теперь вместо . Можно писать.

Рис. 6. Смешанное произведение

Следствие 1. .

Следствие 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда.

Предложение. Если вектора некомпланарные, то и вектора некомпланарные.

Доказательство. Предположим

и, например, . Умножив обе части равенства скалярно на, мы получим, что противоречит некомпланарности векторов базиса.